Orthographie bien faite

latex/Questions/Q10.tex

@@ -8,13 +8,13 @@ Nous avons trouvé un seuil de $T_s = 0.0356s$ à l'aide d'un boucle qui travers
     \begin{subfigure}{0.48\textwidth}
         \centering
     \includegraphics[scale=0.4]{Illustrations/NouveauxImages/Q10}
-        \caption{Système au seuil: $T_s = 0.0356s$}
+        \caption{Système sur le seuil: $T_s = 0.0356s$}
     \end{subfigure}
     \hfill
     \begin{subfigure}{0.48\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[scale=0.4]{Illustrations/NouveauxImages/Q10_diverge}
-        \caption{Système hors seuil:  $T_s = 0.0366s$}
+        \caption{Système hors le seuil:  $T_s = 0.0366s$}
     \end{subfigure}
 \end{figure}
 

latex/Questions/Q13.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \textbf{Question 13}
 
-Avec le même periode d'echantillonnage comme dans la section precedente: $T_e=0.0356$ notre système est rendu instable. 
+Avec la même periode d'echantillonnage comme dans la section precedente: $T_e=0.0356$ notre système se déstabilise. 
 
 \begin{figure}[H]
     \centering

latex/Questions/Q14.tex

@@ -1,19 +1,19 @@
 \textbf{Question 14}
 
-Nous retrouvons un seuil d'echantillonnage à: $T_e = 0.0107s$. Voici les comportements du système dedans et hors seuil.
+Nous retrouvons un seuil d'echantillonnage à: $T_e = 0.0107s$. Voici les comportements du système sur et hors le seuil.
 
 \begin{figure}[H]
 \centering
     \begin{subfigure}{0.48\textwidth}
         \centering
     \includegraphics[scale=0.4]{Illustrations/NouveauxImages/Q14}
-        \caption{Système au seuil: $T_s = 0.0107s$}
+        \caption{Système sur le seuil: $T_s = 0.0107s$}
     \end{subfigure}
     \hfill
     \begin{subfigure}{0.48\textwidth}
         \centering
         \includegraphics[scale=0.4]{Illustrations/NouveauxImages/Q14_instable}
-        \caption{Système hors seuil:  $T_s = 0.0108s$}
+        \caption{Système hors le seuil:  $T_s = 0.0108s$}
     \end{subfigure}
       \begin{subfigure}{0.48\textwidth}
         \centering

latex/Questions/Q15.tex

@@ -1,4 +1,14 @@
 \textbf{Question 15}
+\begin{center}
+Soit $q(\zeta, t) = q_0(t)$ et $F_{ext}=-\int_0^L\Phi(\zeta)q(\zeta,t)d\zeta$
+$\Leftrightarrow F_{ext}=-\int_0^L\Phi(t)q_0(t)$\\
+Or $E\dot{x}_{2d}=-D^Tx_{1d}(t)-\Phi(L)u(t)-F_{ext}$ 
+$\Leftrightarrow$
+$\dot{x}_{2d}=-E^{-1}D^Tx_{1d}(t)-E^{-1}\Phi(L)u(t)+ E^{-1}\int_0^L\Phi(\zeta)d\zeta q_0(t)$\\
+D'où $\dot{x}_d(t)=Ax_d(t)+Bu(t)+ \begin{bmatrix}
+0_{\rm I\!R_{_{4\times1}}} \\ E^{-1}\int_0^L\Phi(\zeta)d\zeta
+\end{bmatrix}q_0(t)$
+\end{center}
 Après avoir calculé, nous retrouvons la matrice $B_p$ sous la forme:
 \begin{equation}
 B_p =
@@ -7,7 +17,7 @@ B_p =
 \end{bmatrix} 
 = 
 \begin{bmatrix}
-0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0
+0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0
 \end{bmatrix}^{T}
 \end{equation}
 

latex/Questions/Q16.tex

@@ -3,7 +3,7 @@
 La Figure~\ref{fig:q16_perturbation} montre que le système ne corrige pas l'erreur due à la perturbation. 
 \begin{figure}[H]
     \centering
-    \includegraphics[scale=0.3]{Illustrations/im3} % Remplacez par votre image
+    \includegraphics[scale=0.4]{Illustrations/NouveauxImages/Q16}
     \caption{Simulation du système avec une perturbation.}
     \label{fig:q16_perturbation}
 \end{figure}

latex/Questions/Q17.log

@@ -1,4 +1,4 @@
-This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=pdflatex 2026.4.14)  7 MAY 2026 19:39
+This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=pdflatex 2026.4.14)  7 MAY 2026 23:28
 entering extended mode
  restricted \write18 enabled.
  %&-line parsing enabled.
@@ -306,7 +306,7 @@ Overfull \hbox (18.91605pt too wide) in paragraph at lines 3--5
 
 
 Overfull \hbox (35.55566pt too wide) in paragraph at lines 3--5
-\OMS/cmsy/m/n/10 ^^@\/cmr/m/n/10 4[]3805$
+\OMS/cmsy/m/n/10 ^^@\/cmr/m/n/10 4\OML/cmm/m/it/10 :\/cmr/m/n/10 3805$
  []
 
 
@@ -479,11 +479,11 @@ cmsy/m/n/10 ^^@ \/cmr/m/n/10 3\OML/cmm/m/it/10 i \OMS/cmsy/m/n/10 ^^@ \/cmr/m/n
 
  
 Here is how much of TeX's memory you used:
- 39 strings out of 474222
- 690 string characters out of 5748733
+ 41 strings out of 474222
+ 746 string characters out of 5748733
  1923975 words of memory out of 5000000
- 22392 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 22394 multiletter control sequences out of 15000+600000
  558377 words of font info for 37 fonts, out of 8000000 for 9000
  1141 hyphenation exceptions out of 8191
- 23i,3n,32p,268b,133s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
+ 23i,3n,32p,266b,133s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
 !  ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced!

latex/Questions/Q17.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \textbf{Question 17}
 
-À partir des huit pôles obtenus avec la commande par retour d'état de la Question 11, on ajoute un pôle supplémentaire associé à l'action intégrale $p_i = -4{,}3805$, correspondant au pôle du système le plus rapide.
+À partir des huit pôles obtenus avec la commande par retour d'état de la Question 11, on ajoute un pôle supplémentaire associé à l'action intégrale $p_i = -4.3805$, correspondant au pôle du système le plus rapide.
 Ainsi, les pôles desirés du système augmenté sont :
 \begin{center}
 $p_{\text{des}} =$

latex/Questions/Q19.tex

@@ -1,11 +1,19 @@
 \textbf{Question 19}
 
 La Figure~\ref{fig:q19_integrale} montre qu'avec l'action intégrale, la perturbation est rejetée et l'erreur en régime permanent est corrigée.
-
 \begin{figure}[H]
 \centering
-    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Illustrations/Q17} % Remplacez par votre image
+    \begin{subfigure}{0.48\textwidth}
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.5]{Illustrations/NouveauxImages/Q19}
+    \caption{Erreur en regime permanente}
+    \end{subfigure}
+    \hfill
+    \begin{subfigure}{0.48\textwidth}
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.5]{Illustrations/NouveauxImages/Q18}
+    \caption{Erreur nulle en regime permanente}
+    \end{subfigure}
     \caption{Simulation du système avec correction par action intégrale.}
     \label{fig:q19_integrale}
 \end{figure}
-

latex/Questions/Q2.tex

@@ -1,73 +1,134 @@
-
 \textbf{Question 2}
 
-À partir des informations données dans l'exercice, on peut écrire :
-
 \begin{equation}
 \dot{x}_1
 =
-\frac{\partial^2 e_2}{\partial \zeta^2}
-=
-\phi(\zeta)^T \dot{x}_{1d}(t)
+\frac{\partial^2}{\partial \zeta^2} e_2(\zeta,t)
 \end{equation}
 
-En multipliant les deux membres par le vecteur d'approximation $\phi(\zeta)$, on obtient :
+Par la méthode de discrétisation :
 
 \begin{equation}
-\phi(\zeta)
-\frac{\partial^2 e_2}{\partial \zeta^2}
+\phi^T(\zeta)\dot{x}_{1d}(t)
 =
-\phi(\zeta)\phi(\zeta)^T \dot{x}_{1d}(t)
-\end{equation}
-
-En remplaçant ensuite $e_2$ par son approximation, on obtient :
-
-\begin{equation}
-\phi(\zeta)
-\frac{\partial^2}{\partial \zeta^2}
-\left(
-\phi(\zeta)^T e_{2d}(t)
-\right)
-=
-\phi(\zeta)\phi(\zeta)^T \dot{x}_{1d}(t)
-\end{equation}
-
-Comme $e_{2d}(t)$ ne dépend pas de $\zeta$, il peut être sorti de l'intégrale. En intégrant sur $[0,L]$, on obtient :
-\begin{equation}
-\int_0^L
-\phi(\zeta)\phi(\zeta)^T
-\, d\zeta \,
-\dot{x}_{1d}(t)
+\frac{\partial^2 \phi^T(\zeta)}{\partial \zeta^2} e_{2d}(t) \Leftrightarrow \int_0^L \phi(\zeta)\phi^T(\zeta)\,d\zeta \; \dot{x}_{1d}(t)
 =
+\underbrace{
 \int_0^L
 \phi(\zeta)
-\frac{\partial^2 \phi(\zeta)^T}{\partial \zeta^2}
-\, d\zeta \,
+\frac{\partial^2 \phi^T(\zeta)}{\partial \zeta^2}
+\,d\zeta
 e_{2d}(t)
+}_{J}
 \end{equation}
 
-Après avoir fait une integration par partie:
-à inserer:\\
+Par intégration par parties deux fois :
 
-
-
-On identifie alors les matrices $E$ et $D$. Ainsi, les deux équations d'état discrétisées s'écrivent :
+\begin{equation}
+J
+=
+\left[
+\phi(\zeta)
+\frac{\partial \phi^T(\zeta)}{\partial \zeta}
+\right]_0^L
+-
+\int_0^L
+\frac{\partial \phi(\zeta)}{\partial \zeta}
+\frac{\partial \phi^T(\zeta)}{\partial \zeta}
+\,d\zeta
+\end{equation}
 
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-E\dot{x}_{1d}(t) &= D e_{2d}(t),\\
-E\dot{x}_{2d}(t) &= -D^T e_{1d}(t)-\phi(L)u(t)-F_{ext}.
+J 
+&=
+\phi(L)\frac{\partial \phi^T}{\partial \zeta}(L)e_{2d}(t)
+-0
+-
+\left[
+\frac{\partial \phi}{\partial \zeta}(\zeta)
+\phi^T(\zeta)e_{2d}(t)
+\right]_0^L
++
+\int_0^L
+\frac{\partial^2 \phi}{\partial \zeta^2}(\zeta)
+\phi^T(\zeta)\,d\zeta \; e_{2d}(t)
+\\[0.2cm]
+&=
+\phi(L)\frac{\partial \phi^T}{\partial \zeta}(L)e_{2d}(t)
+-
+\frac{\partial \phi}{\partial \zeta}(L)
+\phi^T(L)e_{2d}(t)
++
+\frac{\partial \phi}{\partial \zeta}(0)
+e_{2d}(0,t)
++
+\int_0^L
+\frac{\partial^2 \phi}{\partial \zeta^2}(\zeta)
+\phi^T(\zeta)\,e_{2d}(t)d\zeta \; 
 \end{aligned}
 \end{equation}
 
-Enfin, on obtient :
+
+On a $e_2(0,t)=0 \Leftrightarrow E\dot{x}_1 = De_{2d}(t)$
+
+
+Comme $D =
+\phi(L)\frac{d\phi^T}{d\zeta}(L)
+-
+\frac{d\phi}{d\zeta}(L)\phi^T(L)
++
+\int_0^L
+\frac{d^2\phi}{d\zeta^2}(\zeta)\phi^T(\zeta)\,d\zeta
+$. Et $(AB)^T = B^T A^T$, on a :
 
 \begin{equation}
-\boxed{
-\begin{aligned}
-E\dot{x}_{1d}(t) &= D e_{2d}(t),\\
-E\dot{x}_{2d}(t) &= -D^T e_{1d}(t)-\phi(L)u(t)-F_{ext},\\
-y(t) &= -\phi(L)^T e_{2d}(t).
-\end{aligned}
-}
+-D^T =
+-
+\frac{d\phi}{d\zeta}(L)\phi^T(L)
++
+\phi(L)\frac{d\phi^T}{d\zeta}(L)
+-
+\int_0^L
+\phi(\zeta)
+\frac{d^2\phi^T}{d\zeta^2}(\zeta)
+\,d\zeta.
 \end{equation}
+
+\begin{equation}
+E\dot{x}_{2d}(t)
+=
+-
+\int_0^L
+\phi(\zeta)
+\frac{d^2\phi^T}{d\zeta^2}(\zeta)
+\,d\zeta \; e_{1d}(t)
+-
+F_{ext}.
+\end{equation}
+
+Donc, 
+\begin{equation}
+E\dot{x}_{2d}(t)
+=
+-D^T e_{1d}(t)
++
+\frac{d\phi}{d\zeta}(L)e_1(L,t)
+-
+\phi(L)\frac{\partial e_1}{\partial \zeta}(L,t)
+-
+F_{ext}.
+\end{equation}
+
+Comme $e_1(L,t)=0$, $\frac{\partial e_1}{\partial \zeta}(L,t)=u(t)$ on obtient bien :
+
+\begin{equation}
+E\dot{x}_{2d}(t)
+=
+-D^T e_{1d}(t)
+-
+\phi(L)u(t)
+-
+F_{ext}.
+\end{equation}
+

latex/Questions/Q20.tex

@@ -1,3 +1,9 @@
 \textbf{Question 20}
 
-Nous avons testé avec 6 decimals, mais la valeur absolue d'un des pôles z: $|z|>1$, alors nous n'arrivons jamais à stabiliser le système. Aussi, nous considerons avec $T_s \rightarrow 0.00001$ est un temps continu, la commande n'est pas implemantable sur un controleur numérique.
+Nous avons testé avec 6 decimals, mais npous avons un pôle: $|z|>1$, alors nous n'arrivons jamais à stabiliser le système. Aussi, nous considerons avec $T_s \rightarrow 0.00001$ est un temps continu, la commande n'est pas donc implemantable sur un controleur numérique.
+\begin{center}
+%\begin{figure}
+\includegraphics[scale=0.6]{Illustrations/NouveauxImages/Q_20}
+%\caption{Valeurs propres du système avec action intégrale}
+%\end{figure}
+\end{center}

latex/Questions/Q4.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \textbf{Question 4}
 
-Voici le lieu des racines du système en continu et en temps discret. $T_s = {0.01 ; 0.02 ; 0.04}$ avec le cercle unitaire. Comme tous nos pôles sont à $|z|=1$, nous ne pouvons pas conclure sur la stabilité ni l'instabilité. En temps continu nous avons instabilité, à cause des pôles: $Re\{\lambda\}>0$
+Voici le lieu des racines du système en continu et en temps discret. $T_s = {0.01 ; 0.02 ; 0.04}$ avec le cercle unitaire. Comme tous nos pôles sont à $|z|=1$, nous ne pouvons pas conclure sur la stabilité ni l'instabilité. En temps continu le système est instable, à cause des pôles: $Re\{\lambda\}>0$
 
 \begin{figure}[H]
 \centering

latex/Questions/Q5.tex

@@ -1,10 +1,9 @@
-\newpage
 \textbf{Question 5}
 
 La Figure 2 montre que la sortie $y(t)$ oscille après l’échelon, confirmant l’instabilité du système en boucle ouverte.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
-    \includegraphics[scale=0.3]{Illustrations/Q5stepReponse} % Remplacez par votre image
+    \includegraphics[scale=0.4]{Illustrations/Q5stepReponse} % Remplacez par votre image
     \caption{Response du système en boucle ouverte.}
 \end{figure}

latex/Questions/Q6.tex

@@ -1,4 +1,13 @@
 \textbf{Question 6}
-
-:o
-
+\begin{center}
+Nous savons que: $ x_1(\zeta, t) = \frac{d^2 w}{d^2\zeta}(\zeta,t)$
+$\Rightarrow w(\zeta,t)=\int\int_0^L x_1(\mu , t)d\mu $\\
+comme $x_1(\mu,t)=\Phi^T(\mu)x_{1d}(t)$\\
+d'où 
+\begin{equation}
+w(\zeta,t) = 
+\begin{bmatrix}
+\int\int_0^\zeta \Phi(\mu)d\mu & 0_{{\rm I\!R}_{1\times4}}
+\end{bmatrix}x_d(t)
+\end{equation}
+\end{center}

latex/Questions/Q9.tex

@@ -2,7 +2,6 @@
 \textbf{Question 9}
 
 La Figure~\ref{fig:q9_eigenvalues} compare les valeurs propres du système en boucle fermée en temps continu avec celles obtenues après discrétisation par ZOH, pour les trois périodes d'échantillonnage proposées: $T_e = \{0.01s ; 0.02s ; 0.04s\}$. 
-
 \begin{figure}[H]
 	\centering
     \begin{subfigure}{0.48\textwidth}
@@ -27,8 +26,9 @@ La Figure~\ref{fig:q9_eigenvalues} compare les valeurs propres du système en bo
     \includegraphics[scale=0.4]{Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE004}
 	\caption{$T_s = 0.04\,\mathrm{s}$.}
     \end{subfigure}
+    \caption{Valeurs propres dans le cas d'un retour de sortie}
     \label{fig:q9_eigenvalues}
 \end{figure}
 
-Comme nous pouvons voir, les pôles du système discret restent à l'interieur du cercle unitaire, mais dès que nous passons à $T_e=0.04s$ ça rend le système instable avec un pôle hors le cercle.
+Comme nous pouvons voir, les pôles du système discret restent à l'interieur du cercle unitaire, mais prendre $T_e=0.04s$ rend le système instable avec un pôle hors du cercle.
 

latex/contents.tex

@@ -9,6 +9,7 @@
 \subsection{Discrétisation par éléments finis}
 \input{Questions/Q2} 
 \input{Questions/Q3} 
+\newpage
 \input{Questions/Q4} 
 \input{Questions/Q5} 
 \input{Questions/Q6} 

latex/main.aux

@@ -17,12 +17,13 @@
 \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Comparaison des valeurs propres du système en temps continu et en temps discret.}}{3}{figure.caption.1}\protected@file@percent }
 \providecommand*\caption@xref[2]{\@setref\relax\@undefined{#1}}
 \newlabel{fig:q9_eigenvalues}{{1}{3}{Comparaison des valeurs propres du système en temps continu et en temps discret}{figure.caption.1}{}}
-\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Response du système en boucle ouverte.}}{4}{figure.caption.2}\protected@file@percent }
+\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Response du système en boucle ouverte.}}{3}{figure.caption.2}\protected@file@percent }
 \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Retour de sortie}{4}{section.2}\protected@file@percent }
 \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Suivi de la consigne $w_c(t)$ par la position $w(L,t)$.}}{4}{figure.caption.3}\protected@file@percent }
 \newlabel{fig:Q8_1}{{3}{4}{Suivi de la consigne $w_c(t)$ par la position $w(L,t)$}{figure.caption.3}{}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Retour de sortie par ZOH}{4}{subsection.2.1}\protected@file@percent }
-\newlabel{fig:q9_eigenvalues}{{\caption@xref {fig:q9_eigenvalues}{ on input line 30}}{5}{Retour de sortie par ZOH}{figure.caption.4}{}}
+\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {4}{\ignorespaces Valeurs propres dans le cas d'un retour de sortie}}{5}{figure.caption.4}\protected@file@percent }
+\newlabel{fig:q9_eigenvalues}{{4}{5}{Valeurs propres dans le cas d'un retour de sortie}{figure.caption.4}{}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3}Retour d'état}{5}{section.3}\protected@file@percent }
 \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {6}{\ignorespaces Simulation numérique du système continu en boucle fermée.}}{6}{figure.caption.6}\protected@file@percent }
 \newlabel{fig:Q15}{{6}{6}{Simulation numérique du système continu en boucle fermée}{figure.caption.6}{}}
@@ -32,7 +33,7 @@
 \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {4}Rejet de perturbation}{7}{section.4}\protected@file@percent }
 \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {9}{\ignorespaces Simulation du système avec une perturbation.}}{7}{figure.caption.9}\protected@file@percent }
 \newlabel{fig:q16_perturbation}{{9}{7}{Simulation du système avec une perturbation}{figure.caption.9}{}}
-\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Remplacement du pré-gain H}{7}{subsection.4.1}\protected@file@percent }
+\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Remplacement du pré-gain H}{8}{subsection.4.1}\protected@file@percent }
 \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {10}{\ignorespaces Simulation du système avec correction par action intégrale.}}{8}{figure.caption.10}\protected@file@percent }
 \newlabel{fig:q19_integrale}{{10}{8}{Simulation du système avec correction par action intégrale}{figure.caption.10}{}}
 \global\mtcsecondpartfalse

latex/main.log

@@ -1,4 +1,4 @@
-This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=pdflatex 2026.4.14)  7 MAY 2026 19:57
+This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=pdflatex 2026.4.14)  7 MAY 2026 23:36
 entering extended mode
  restricted \write18 enabled.
  %&-line parsing enabled.
@@ -1269,173 +1269,162 @@ Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line
 4.
 (pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
  [2 <./template/assets/template_page.pdf>]) (./contents.tex (./Questions/Q1.tex
-) (./Questions/Q2.tex
-Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 49--51
-
- []
-
-) (./Questions/Q3.tex
+) (./Questions/Q2.tex)
+(./Questions/Q3.tex
 LaTeX Font Info:    Font shape `T1/phv/m/it' in size <10.95> not available
-(Font)              Font shape `T1/phv/m/sl' tried instead on input line 11.
+(Font)              Font shape `T1/phv/m/sl' tried instead on input line 5.
 File: template/assets/template_page.pdf Graphic file (type pdf)
 <use template/assets/template_page.pdf>
 Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line 
-11.
+5.
 (pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
- [1]) (./Questions/Q4.tex
-<Illustrations/Q4eigenValTEMPSCONT.png, id=486, 526.96875pt x 395.22656pt>
+ [1])
+File: template/assets/template_page.pdf Graphic file (type pdf)
+<use template/assets/template_page.pdf>
+Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line 
+12.
+(pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
+ [2] (./Questions/Q4.tex
+<Illustrations/Q4eigenValTEMPSCONT.png, id=501, 526.96875pt x 395.22656pt>
 File: Illustrations/Q4eigenValTEMPSCONT.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/Q4eigenValTEMPSCONT.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/Q4eigenValTEMPSCONT.png  used on input l
 ine 9.
 (pdftex.def)             Requested size: 158.09184pt x 118.56888pt.
-<Illustrations/Q40100.png, id=487, 526.96875pt x 395.22656pt>
+<Illustrations/Q40100.png, id=502, 526.96875pt x 395.22656pt>
 File: Illustrations/Q40100.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/Q40100.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/Q40100.png  used on input line 15.
 (pdftex.def)             Requested size: 158.09184pt x 118.56888pt.
-<Illustrations/Q40200.png, id=488, 526.96875pt x 395.22656pt>
+<Illustrations/Q40200.png, id=503, 526.96875pt x 395.22656pt>
 File: Illustrations/Q40200.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/Q40200.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/Q40200.png  used on input line 20.
 (pdftex.def)             Requested size: 158.09184pt x 118.56888pt.
-<Illustrations/Q40400.png, id=489, 526.96875pt x 395.22656pt>
+<Illustrations/Q40400.png, id=504, 526.96875pt x 395.22656pt>
 File: Illustrations/Q40400.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/Q40400.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/Q40400.png  used on input line 26.
 (pdftex.def)             Requested size: 158.09184pt x 118.56888pt.
-File: template/assets/template_page.pdf Graphic file (type pdf)
-<use template/assets/template_page.pdf>
-Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line 
-32.
-(pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
- [2]) (./Questions/Q5.tex
-File: template/assets/template_page.pdf Graphic file (type pdf)
-<use template/assets/template_page.pdf>
-Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line 
-1.
-(pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
-
-[3 <./Illustrations/Q4eigenValTEMPSCONT.png (PNG copy)> <./Illustrations/Q40100
-.png (PNG copy)> <./Illustrations/Q40200.png (PNG copy)> <./Illustrations/Q4040
-0.png (PNG copy)>]
-<Illustrations/Q5stepReponse.png, id=507, 526.96875pt x 395.22656pt>
+) (./Questions/Q5.tex
+<Illustrations/Q5stepReponse.png, id=505, 526.96875pt x 395.22656pt>
 File: Illustrations/Q5stepReponse.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/Q5stepReponse.png>
-Package pdftex.def Info: Illustrations/Q5stepReponse.png  used on input line 8.
+Package pdftex.def Info: Illustrations/Q5stepReponse.png  used on input line 7.
 
-(pdftex.def)             Requested size: 158.09184pt x 118.56888pt.
-) (./Questions/Q6.tex) (./Questions/Q7.tex
+(pdftex.def)             Requested size: 210.78375pt x 158.08781pt.
+)
+(./Questions/Q6.tex
+File: template/assets/template_page.pdf Graphic file (type pdf)
+<use template/assets/template_page.pdf>
+Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line 
+2.
+(pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
+ [3 <./Illustrations/Q4eigenValTEMPSCONT.png (PNG copy)> <./Illustrations/Q4010
+0.png (PNG copy)> <./Illustrations/Q40200.png (PNG copy)> <./Illustrations/Q404
+00.png (PNG copy)> <./Illustrations/Q5stepReponse.png (PNG copy)>]) (./Question
+s/Q7.tex
 LaTeX Font Info:    Trying to load font information for T1+cmtt on input line 4
 .
 
 (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t1cmtt.fd
 File: t1cmtt.fd 2023/04/13 v2.5m Standard LaTeX font definitions
 )) (./Questions/Q8.tex
-<Illustrations/Q8.png, id=508, 526.96875pt x 395.22656pt>
+<Illustrations/Q8.png, id=513, 526.96875pt x 395.22656pt>
 File: Illustrations/Q8.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/Q8.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/Q8.png  used on input line 7.
 (pdftex.def)             Requested size: 158.09184pt x 118.56888pt.
 )
 (./Questions/Q9.tex
-
-Package caption Warning: \label without proper reference on input line 30.
-See the caption package documentation for explanation.
-
-
-LaTeX Warning: Reference `fig:q9_eigenvalues' on page 4 undefined on input line
- 4.
-
-File: template/assets/template_page.pdf Graphic file (type pdf)
-<use template/assets/template_page.pdf>
-Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line 
-5.
-(pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
-[4{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} <./Illustrations/
-Q5stepReponse.png (PNG copy)> <./Illustrations/Q8.png (PNG copy)>]
-<Illustrations/Q9continu.png, id=519, 526.96875pt x 395.22656pt>
+<Illustrations/Q9continu.png, id=515, 526.96875pt x 395.22656pt>
 File: Illustrations/Q9continu.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/Q9continu.png>
-Package pdftex.def Info: Illustrations/Q9continu.png  used on input line 10.
+Package pdftex.def Info: Illustrations/Q9continu.png  used on input line 9.
 (pdftex.def)             Requested size: 158.09184pt x 118.56888pt.
-<Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE001.png, id=520, 332.9238pt x 277.9986pt>
+<Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE001.png, id=516, 332.9238pt x 277.9986pt>
 File: Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE001.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE001.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE001.png  used on inp
-ut line 16.
+ut line 15.
 (pdftex.def)             Requested size: 133.16714pt x 111.19746pt.
-<Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE002.png, id=521, 332.9238pt x 277.9986pt>
+<Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE002.png, id=517, 332.9238pt x 277.9986pt>
 File: Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE002.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE002.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE002.png  used on inp
-ut line 21.
+ut line 20.
 (pdftex.def)             Requested size: 133.16714pt x 111.19746pt.
-<Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE004.png, id=522, 332.9238pt x 277.9986pt>
+<Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE004.png, id=518, 332.9238pt x 277.9986pt>
 File: Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE004.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE004.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE004.png  used on inp
-ut line 27.
+ut line 26.
 (pdftex.def)             Requested size: 133.16714pt x 111.19746pt.
-)
-(./Questions/Q10.tex
-<Illustrations/NouveauxImages/Q10.png, id=523, 333.8874pt x 270.7716pt>
+File: template/assets/template_page.pdf Graphic file (type pdf)
+<use template/assets/template_page.pdf>
+Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line 
+32.
+(pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
+ [4{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} <./Illustrations
+/Q8.png (PNG copy)>]) (./Questions/Q10.tex
+<Illustrations/NouveauxImages/Q10.png, id=528, 333.8874pt x 270.7716pt>
 File: Illustrations/NouveauxImages/Q10.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/NouveauxImages/Q10.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q10.png  used on input li
 ne 10.
 (pdftex.def)             Requested size: 133.55258pt x 108.30672pt.
-<Illustrations/NouveauxImages/Q10_diverge.png, id=524, 329.0694pt x 270.7716pt>
+<Illustrations/NouveauxImages/Q10_diverge.png, id=529, 329.0694pt x 270.7716pt>
 
 File: Illustrations/NouveauxImages/Q10_diverge.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/NouveauxImages/Q10_diverge.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q10_diverge.png  used on 
 input line 16.
 (pdftex.def)             Requested size: 131.62541pt x 108.30672pt.
-) (./Questions/Q11.tex
+)
+(./Questions/Q11.tex) (./Questions/Q12.tex
 File: template/assets/template_page.pdf Graphic file (type pdf)
 <use template/assets/template_page.pdf>
 Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line 
-10.
+4.
 (pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
  [5 <./Illustrations/Q9continu.png (PNG copy)> <./Illustrations/NouveauxImages/
 Q9_TE001.png (PNG copy)> <./Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE002.png (PNG copy
 )> <./Illustrations/NouveauxImages/Q9_TE004.png (PNG copy)> <./Illustrations/No
 uveauxImages/Q10.png (PNG copy)> <./Illustrations/NouveauxImages/Q10_diverge.pn
-g (PNG copy)>]) (./Questions/Q12.tex
-<Illustrations/Q12.png, id=533, 526.96875pt x 395.22656pt>
+g (PNG copy)>]
+<Illustrations/Q12.png, id=538, 526.96875pt x 395.22656pt>
 File: Illustrations/Q12.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/Q12.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/Q12.png  used on input line 7.
 (pdftex.def)             Requested size: 177.42868pt x 133.07262pt.
 ) (./Questions/Q13.tex
-<Illustrations/NouveauxImages/Q13.png, id=534, 332.9238pt x 263.0628pt>
+<Illustrations/NouveauxImages/Q13.png, id=539, 332.9238pt x 263.0628pt>
 File: Illustrations/NouveauxImages/Q13.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/NouveauxImages/Q13.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q13.png  used on input li
 ne 7.
 (pdftex.def)             Requested size: 166.46149pt x 131.53107pt.
 ) (./Questions/Q14.tex
-<Illustrations/NouveauxImages/Q14.png, id=535, 346.4142pt x 284.262pt>
+<Illustrations/NouveauxImages/Q14.png, id=540, 346.4142pt x 284.262pt>
 File: Illustrations/NouveauxImages/Q14.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/NouveauxImages/Q14.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q14.png  used on input li
 ne 9.
 (pdftex.def)             Requested size: 138.56322pt x 113.70277pt.
-<Illustrations/NouveauxImages/Q14_instable.png, id=536, 346.4142pt x 284.262pt>
+<Illustrations/NouveauxImages/Q14_instable.png, id=541, 346.4142pt x 284.262pt>
 
 File: Illustrations/NouveauxImages/Q14_instable.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/NouveauxImages/Q14_instable.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q14_instable.png  used on
  input line 15.
 (pdftex.def)             Requested size: 138.56322pt x 113.70277pt.
-<Illustrations/NouveauxImages/Q14_step.png, id=537, 333.8874pt x 270.7716pt>
+<Illustrations/NouveauxImages/Q14_step.png, id=542, 333.8874pt x 270.7716pt>
 File: Illustrations/NouveauxImages/Q14_step.png Graphic file (type png)
 <use Illustrations/NouveauxImages/Q14_step.png>
 Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q14_step.png  used on inp
 ut line 20.
 (pdftex.def)             Requested size: 133.55258pt x 108.30672pt.
-<Illustrations/NouveauxImages/Q14_step_diverge.png, id=538, 333.8874pt x 270.77
+<Illustrations/NouveauxImages/Q14_step_diverge.png, id=543, 333.8874pt x 270.77
 16pt>
 File: Illustrations/NouveauxImages/Q14_step_diverge.png Graphic file (type png)
 
@@ -1447,49 +1436,66 @@ d on input line 26.
 File: template/assets/template_page.pdf Graphic file (type pdf)
 <use template/assets/template_page.pdf>
 Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line 
-35.
+36.
 (pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
  [6 <./Illustrations/Q12.png (PNG copy)> <./Illustrations/NouveauxImages/Q13.pn
 g (PNG copy)>] (./Questions/Q15.tex) (./Questions/Q16.tex
-<Illustrations/im3.png, id=547, 346.4142pt x 284.7438pt>
-File: Illustrations/im3.png Graphic file (type png)
-<use Illustrations/im3.png>
-Package pdftex.def Info: Illustrations/im3.png  used on input line 6.
-(pdftex.def)             Requested size: 103.92505pt x 85.4238pt.
+<Illustrations/NouveauxImages/Q16.png, id=551, 220.6644pt x 187.902pt>
+File: Illustrations/NouveauxImages/Q16.png Graphic file (type png)
+<use Illustrations/NouveauxImages/Q16.png>
+Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q16.png  used on input li
+ne 6.
+(pdftex.def)             Requested size: 88.26419pt x 75.15945pt.
 ) (./Questions/Q17.tex
 File: template/assets/template_page.pdf Graphic file (type pdf)
 <use template/assets/template_page.pdf>
 Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line 
-19.
+3.
 (pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
  [7 <./Illustrations/NouveauxImages/Q14.png (PNG copy)> <./Illustrations/Nouvea
 uxImages/Q14_instable.png (PNG copy)> <./Illustrations/NouveauxImages/Q14_step.
 png (PNG copy)> <./Illustrations/NouveauxImages/Q14_step_diverge.png (PNG copy)
-> <./Illustrations/im3.png (PNG copy)>]) (./Questions/Q18.tex) (./Questions/Q19
-.tex
-<Illustrations/Q17.png, id=556, 526.96875pt x 395.22656pt>
-File: Illustrations/Q17.png Graphic file (type png)
-<use Illustrations/Q17.png>
-Package pdftex.def Info: Illustrations/Q17.png  used on input line 7.
-(pdftex.def)             Requested size: 177.42868pt x 133.07262pt.
-) (./Questions/Q20.tex))
+> <./Illustrations/NouveauxImages/Q16.png (PNG copy)>])
+(./Questions/Q18.tex) (./Questions/Q19.tex
+<Illustrations/NouveauxImages/Q19.png, id=560, 232.7094pt x 187.902pt>
+File: Illustrations/NouveauxImages/Q19.png Graphic file (type png)
+<use Illustrations/NouveauxImages/Q19.png>
+Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q19.png  used on input li
+ne 8.
+(pdftex.def)             Requested size: 116.3544pt x 93.95076pt.
+<Illustrations/NouveauxImages/Q18.png, id=561, 224.5188pt x 187.902pt>
+File: Illustrations/NouveauxImages/Q18.png Graphic file (type png)
+<use Illustrations/NouveauxImages/Q18.png>
+Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q18.png  used on input li
+ne 14.
+(pdftex.def)             Requested size: 112.25911pt x 93.95076pt.
+) (./Questions/Q20.tex
+<Illustrations/NouveauxImages/Q_20.png, id=562, 245.2362pt x 196.0926pt>
+File: Illustrations/NouveauxImages/Q_20.png Graphic file (type png)
+<use Illustrations/NouveauxImages/Q_20.png>
+Package pdftex.def Info: Illustrations/NouveauxImages/Q_20.png  used on input l
+ine 6.
+(pdftex.def)             Requested size: 147.14285pt x 117.65646pt.
+))
 (./template/derniere_page.tex
 File: template/assets/template_page.pdf Graphic file (type pdf)
 <use template/assets/template_page.pdf>
 Package pdftex.def Info: template/assets/template_page.pdf  used on input line 
 1.
 (pdftex.def)             Requested size: 614.35538pt x 795.03171pt.
- [8 <./Illustrations/Q17.png (PNG copy)>]
+ [8 <./Illustrations/NouveauxImages/Q19.png (PNG copy)> <./Illustrations/Nouvea
+uxImages/Q18.png (PNG copy)> <./Illustrations/NouveauxImages/Q_20.png (PNG copy
+)>]
 
 pdfTeX warning: /usr/bin/pdflatex (file ./template/assets/template_last_page.pd
 f): PDF inclusion: found PDF version <1.7>, but at most version <1.5> allowed
-<template/assets/template_last_page.pdf, id=566, 469.44203pt x 655.09624pt>
+<template/assets/template_last_page.pdf, id=572, 469.44203pt x 655.09624pt>
 File: template/assets/template_last_page.pdf Graphic file (type pdf)
 <use template/assets/template_last_page.pdf>
 Package pdftex.def Info: template/assets/template_last_page.pdf  used on input 
 line 6.
 (pdftex.def)             Requested size: 614.29306pt x 795.00795pt.
-<template/assets/carre.png, id=569, 15.05624pt x 15.05624pt>
+<template/assets/carre.png, id=575, 15.05624pt x 15.05624pt>
 File: template/assets/carre.png Graphic file (type png)
 <use template/assets/carre.png>
 Package pdftex.def Info: template/assets/carre.png  used on input line 22.
@@ -1563,30 +1569,31 @@ Package logreq Info: Writing requests to 'main.run.xml'.
 
  ) 
 Here is how much of TeX's memory you used:
- 35406 strings out of 474222
- 661496 string characters out of 5748733
- 1945975 words of memory out of 5000000
- 57042 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 35431 strings out of 474222
+ 662796 string characters out of 5748733
+ 1943975 words of memory out of 5000000
+ 57064 multiletter control sequences out of 15000+600000
  603294 words of font info for 81 fonts, out of 8000000 for 9000
  1141 hyphenation exceptions out of 8191
  89i,12n,104p,677b,1809s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
 </usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></us
 r/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/shar
-e/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texli
-ve/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texlive/texm
-f-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/
-fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr6.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/ty
-pe1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/publ
-ic/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/ams
-fonts/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/c
-m/cmsy8.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sftt1095.pfb></usr/sh
-are/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/helvetic/uhvb8a.pfb></usr/share/texlive/
-texmf-dist/fonts/type1/urw/helvetic/uhvr8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/f
-onts/type1/urw/helvetic/uhvro8a.pfb>
-Output written on main.pdf (11 pages, 657816 bytes).
+e/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texli
+ve/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texlive/texm
+f-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/
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+ype1/public/amsfonts/cm/cmr6.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/pub
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+onts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/c
+m/cmsy6.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8
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+live/texmf-dist/fonts/type1/urw/helvetic/uhvb8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-d
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+pe1/urw/helvetic/uhvro8a.pfb>
+Output written on main.pdf (11 pages, 691319 bytes).
 PDF statistics:
- 656 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
- 453 compressed objects within 5 object streams
- 50 named destinations out of 1000 (max. 500000)
- 205 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
+ 666 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
+ 459 compressed objects within 5 object streams
+ 53 named destinations out of 1000 (max. 500000)
+ 215 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
 

latex/main.stc4

@@ -1 +1 @@
-{\reset@font\stcSSfont\mtc@string\contentsline{subsection}{\noexpand \leavevmode \numberline {4.1}Remplacement du pré-gain H}{\reset@font\stcSSfont 7}{subsection.4.1}}
+{\reset@font\stcSSfont\mtc@string\contentsline{subsection}{\noexpand \leavevmode \numberline {4.1}Remplacement du pré-gain H}{\reset@font\stcSSfont 8}{subsection.4.1}}

latex/main.toc

@@ -7,4 +7,4 @@
 \contentsline {section}{\numberline {3}Retour d'état}{5}{section.3}%
 \contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Retour d'état par ZOH}{6}{subsection.3.1}%
 \contentsline {section}{\numberline {4}Rejet de perturbation}{7}{section.4}%
-\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Remplacement du pré-gain H}{7}{subsection.4.1}%
+\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Remplacement du pré-gain H}{8}{subsection.4.1}%