Dsl j'avais oublié de push mais le projet est fini

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@@ -60,55 +60,24 @@ Voir annexe.
 
 
 \subsection{Question 4}
-\begin{equation*}
+\vspace*{-1.5em}
-	\omega(p, t) = C_\omega(p)x_d(t)
-\end{equation*}
-	
-\begin{equation*}
-	C_\omega(p) = \begin{bmatrix}
-		\frac{p^2(2p^3-5p^2+10)}{20} & -\frac{p^4(2p-5)}{20} & \frac{p^3(3p^2-10p+10)}{60} & \frac{p^4(3p-5)}{60} & 0 & 0 & 0 & 0
-	\end{bmatrix}
-\end{equation*}
-
-\begin{equation*}
-	\phi(L)^T = \begin{bmatrix}
-		2p^3 - 3p^2 + 1 & 3p^2 - 2p^3 & p^3 - 2p^2 + p & p^3 - p^2
-	\end{bmatrix}
-\end{equation*}
-
 \begin{figure}[H]
 	\centering
 	\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question4}
 \end{figure}
-
+\vspace*{-0.5em}
 Les valeurs propres du système dans tous les cas (continu, discrétisé avec Tustin et bloqueur d'ordre 0) sont dans les zones de stabilité. La stabilité du système est vérifiée pour tous les cas.
 
 \subsection{Question 5}
+\vspace*{-2em}
 \begin{figure}[H]
 	\centering
 	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question5}
 \end{figure}
 
-\begin{align*}
-	y  = -\phi(L)^Te_{2d} && y = -e_2(L, t) & & e_2(\zeta, t) \approx \phi(\zeta)^Te_{2d}(t)
-\end{align*}
-
-\begin{align*}
-	x_1 = \frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t)\approx\phi(\zeta)^2x_{1d} & & x_2(\zeta,t) = \rho(\zeta)\frac{\partial\omega}{\partial t}(\zeta,t) \approx\phi(\zeta)^Tx_{2d}
-\end{align*}
-
-\begin{align*}
-	\begin{bmatrix}
-		\dot{x}_{1d} \\ \dot{x}_{1d}
-	\end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}
-	x_{1d} \\ x_{2d}
-	\end{bmatrix} + Bu & & y = C \begin{bmatrix}
-	x_{1d} \\ x_{2d}
-	\end{bmatrix}
-\end{align*}
-
 
 \subsection{Question 6}
+\vspace*{-2em}
 \begin{equation*}
 	\begin{bmatrix}
 		x_1 \\ x_2
@@ -122,13 +91,13 @@ Les valeurs propres du système dans tous les cas (continu, discrétisé avec Tu
 		x_{1d} \\ x_{2d}
 	\end{bmatrix}
 \end{equation*}
-
+\vspace*{-.4em}
 \begin{equation*}
 	\frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t) = \underbrace{\begin{bmatrix}
 		\phi(\zeta)^T & 0 & 0 & 0 & 0 
 	\end{bmatrix}}_{C.I.=0+0}x_{d}(t)
 \end{equation*}
-
+\vspace*{-1em}
 \begin{equation*}
 	\begin{aligned}
 		\frac{\partial\omega}{\partial\zeta}(\zeta,t) &= \int\frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t)d\zeta = x_d(t)\int\begin{bmatrix}
@@ -140,76 +109,54 @@ Les valeurs propres du système dans tous les cas (continu, discrétisé avec Tu
 	\end{aligned}
 \end{equation*}
 Du côté gauche de la poutre soit $\zeta = 0$, la vitesse et la déformation de la poutre sont nulles. Grâce à ces deux données, nous pouvons calculer les constantes représentant les conditions
-initiales qui sont donc aussi nulles. 
+initiales qui sont donc aussi nulles. En calculant les intégrales de $\phi(\zeta)$, nous retrouvons les coefficients de $C_w(\zeta)$. Nous avons alors bien $w(\zeta ,t) = C_w(\zeta) x_d (t)$.
-En calculant les intégrales de $\phi(\zeta)$, nous retrouvons les coefficients de $C_w(\zeta)$. Nous avons alors bien $w(\zeta ,t) = C_w(\zeta) x_d (t)$.
 
 
 \section{Retour de sortie}
-
+\vspace*{-.5em}
 \subsection{Question 7}
-La sortie est donnée par $y(t) = C\,x_d(t)$, donc le système en boucle fermée s’écrit :
+\vspace*{-.2em}
-
+Suivant les calculs de l'annexe, nous avons :
-\begin{equation*}
-\begin{cases}
-	\dot{x}_d(t) = (A - B C k)\,x_d(t) + B H\,w_c(L,t) \\
-	w(L,t) = C_w(L)\,x_d(t)
-\end{cases}
-\end{equation*}
-
-En régime permanent, $\dot{x}_d(t)=0$, donc :
-\begin{equation*}
-	0 = (A - B C k)\,x_d + B H\,C_w(L)\,x_d
-	\quad \Rightarrow \quad
-	x_d = -(A - B C k)^{-1} B H w_c(L,t)
-\end{equation*}
-
-En multipliant l’expression par $C_w(L)$, on trouve :
-\begin{equation*}
-	w(L,t) = C_w(L)\,x_d = -C_w(L)(A - B C k)^{-1} B H w_c(L,t)
-\end{equation*}
-
-Pour assurer le suivi $w(L,t) = w_c(L,t)$, il faut :
-\begin{equation*}
-	- C_w(L)(A - B C k)^{-1} B H = I
-\end{equation*}
-
-D’où : 
 \begin{equation*}
 	\boxed{H = -\left(C_w(L)(A - B C k)^{-1} B\right)^{-1}}
 \end{equation*}
 
-Finalement, après calcul sous MATLAB, on obtient $H = -3$.
+Après calcul dans MATLAB, nous obtienons $\boxed{H = -3}$.
 
 
 \subsection{Question 8}
+\vspace*{-2em}
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question8}
+	\includegraphics[width=30em]{Illustrations/Question8}
 \end{figure}
+\vspace*{-1em}
 
 \subsection{Question 9}
+\vspace*{-2em}
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question9}
+	\includegraphics[width=25em]{Illustrations/Question9}
 \end{figure}
+\vspace*{-1em}
 En discrétisant notre système par la période d'échantillonnage $T_{s3} = 0.04 \ [s]$, on obtient une valeur propre
 en dehors du cercle unitaire de stabilité. Cette période d'échantillonnage déstabilise le système.
 
 \subsection{Question 10}
+\vspace*{-2em}
+\begin{figure}[H]
+	\centering
+	\includegraphics[width=30em]{Illustrations/Question10}
+\end{figure}
+\vspace*{-1em}
 La période d'échantillonnage maximale permettant de garantir la stabilité asymptotique
 est de $T_s \approx 0.011 \ [s]$.
 
-\begin{figure}[H]
-	\centering
-	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question10}
-\end{figure}
-
-
 
 \section{Retour d'état}
-
+\vspace*{-1em}
 \subsection{Question 11}
-En utilisant la fonction \texttt{lqr()} de MATLAB avec $Q = I_8$ et $R = 1$, on trouve la matrice de gain $K$ suivante :
+En utilisant la fonction \texttt{lqr()} de MATLAB avec $Q = I_8$ et $R = 1$, on trouve la matrice de gain :
 \begin{equation*}
 	K = \begin{pmatrix}
 		0.97 & -14.62 & 0.66 & 1.32 & 19.32 & 0.39 & 2.40 & -2.11
@@ -217,6 +164,7 @@ En utilisant la fonction \texttt{lqr()} de MATLAB avec $Q = I_8$ et $R = 1$, on
 \end{equation*}
 
 \subsection{Question 12}
+\vspace*{-2em}
 \begin{figure}[H]
 	\centering
 	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question12}
@@ -227,7 +175,7 @@ En utilisant la fonction \texttt{lqr()} de MATLAB avec $Q = I_8$ et $R = 1$, on
 La même période d'échantillonnage que la section précédente n'est pas appropriée pour cette loi de commande. 
 La période d'échantillonnage maximale permettant de garantir la stabilité asymptotique
 est de $T_s = 0.0107 \ [s]$.
-
+\vspace*{-1em}
 \begin{figure}[H]
 	\centering
 	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question13}
@@ -237,34 +185,23 @@ est de $T_s = 0.0107 \ [s]$.
 \subsection{Question 14}
 En prenant une période d'échantillonnage $T_s = 0.01 \ [s]$, on se rapproche du comportement désiré de 
 la question 12.
+\vspace*{-1em}
 \begin{figure}[H]
 	\centering
 	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question14}
 \end{figure}
-
+\vspace*{-1em}
 
 \section{Rejection de perturbation}
-
+\vspace*{-1em}
 \subsection{Question 15}
-On sait que :
+\vspace*{-2em}
 \begin{equation*}
-	F_{ext} = \int_{0}^{L}\phi(\zeta)q(\zeta,t)d\zeta
+B_p = \begin{pmatrix}
-	\quad \Rightarrow \quad 
-	F_{ext} = q_0(t) \cdot \int_{0}^{L}\phi(\zeta)d\zeta \text{ car } q(\zeta,t) = q_0(t)
-\end{equation*}
-Or on a :
-\begin{equation*}
-	E\dot{x}_{2d} = - e_{1d}D^T - \phi(L)u(t) - F_{ext}
-\end{equation*}
-Donc, puisque $\dot{x}_{d}(t) = A x_d(t) + B u(t) + B_p q_0(t)$, on trouve :
-\begin{equation*}
-B_p =
-\begin{pmatrix}
     0_{4 \times 1} \\
     -\int_{0}^{L}\phi(\zeta)d\zeta
 \end{pmatrix}
-=
+= \begin{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
     0_{4 \times 1} \\
     \frac{1}{2} \\
     \frac{1}{2} \\
@@ -272,12 +209,14 @@ B_p =
     -\frac{1}{12}
 \end{pmatrix}
 \end{equation*}
-
+\vspace*{-1em}
 \subsection{Question 16}
+\vspace*{-2em}
 \begin{figure}[H]
 	\centering
 	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question16}
 \end{figure}
+\vspace*{-1em}
 Notre système ne permet pas de garantir une erreur nulle en régime permanent face
 à une perturbation constante.
 
@@ -286,6 +225,7 @@ Nous souhaitons garder les mêmes valeurs propres que celles obtenues lors de la
 avec la LQR. La valeur propre supplémentaire doit être plus à droite pour permettre
 de rejeter la perturbation. On choisit $\lambda_9 = -2$.
 On trouve alors : 
+\vspace*{-.5em}
 \begin{equation*}
 	\lambda = \begin{pmatrix}
 		-84.66 & -7.56 \pm 68.77i & -27.97 \pm 17.24i & -15.91 & -4.38 \pm 2.66i & -2
@@ -294,16 +234,16 @@ On trouve alors :
 
 \subsection{Question 18}
 En utilisant la fonction \texttt{place()} de MATLAB, on trouve la matrice de gain $K$ suivante :
+\vspace*{-.5em}
 \begin{equation*}
-K_{aug} =
+K_{aug} = \begin{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
     K_1 & K_i
 \end{pmatrix}
 \quad \text{avec} \quad
 K_1 \in \mathbb{R}^{1 \times 8}, \;
 K_i \in \mathbb{R}
 \end{equation*}
-\vspace*{-2em}
+\vspace*{-2.8em}
 \begin{align*}
 	K_1 = \begin{pmatrix}
 		-0.89 & -16.59 & 0.28 & 1.68 & 19.39 & -0.84 & 2.36 & -1.94
@@ -315,11 +255,12 @@ K_i \in \mathbb{R}
 
 
 \subsection{Question 19}
+\vspace*{-2em}
 \begin{figure}[H]
 	\centering
 	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question19}
 \end{figure}
-
+\vspace*{-1em}
 En utilisant l'action intégrale, on parvient à rejeter la perturbation constante et à garantir une erreur nulle en régime permanent.
 
 

latex/contents/annexes.tex

@@ -13,7 +13,7 @@
 \newpage
 \pagenumbering{Alph}
 \section{Annexe}
-
+\vspace*{-1em}
 \subsection{Question 2}
 \vspace*{-2em}
 \begin{align*}
@@ -27,8 +27,8 @@
 	\end{aligned}\right.
 \end{align*}
 
-En utilisant la première ligne de l'équation 1, on trouve :
+En utilisant la 1\textsuperscript{ère} ligne de l'éq. 1, on trouve :
-
+\vspace*{-.2em}
 \begin{equation*}
 	\int\phi(\zeta)d\zeta\times\phi^T\dot{x_{1d}} = \int\phi(\zeta)d\zeta\times\frac{\partial^2}{\partial\zeta^2} = \ddot{\phi}(\zeta)^Te_{2d}
 \end{equation*}
@@ -38,7 +38,7 @@ En utilisant la première ligne de l'équation 1, on trouve :
 \end{equation}
 
 On applique plusieurs fois de l’intégration par partie (IPP) :
-
+\vspace*{-.5em}
 \begin{equation*}
 	\begin{aligned} 
 		\int_{0}^{L}\phi(\zeta)\ddot{\phi}(\zeta)^T d\zeta &= [\phi(\zeta)\dot{\phi}(\zeta)^T]_{0}^{L} - \int_{0}^{L}\dot{\phi}(\zeta)\dot{\phi}(\zeta)^T d\zeta \\
@@ -46,11 +46,8 @@ On applique plusieurs fois de l’intégration par partie (IPP) :
 		&= \phi(L)\dot{\phi}(L)^T - \dot{\phi}(L)\phi(L)^T + \int_{0}^{L} \ddot{\phi}(\zeta)\phi(\zeta)^T d\zeta = D
 	\end{aligned}
 \end{equation*}
-
+\vspace*{-.5em}
-On continue avec ça en remplaçant dans l'équation 2 : $\Rightarrow \boxed{E\dot{x}_{1d} = De_{2d}}$ \\
+Continuons en remplaçant dans l'équation 2 : $\Rightarrow \boxed{E\dot{x}_{1d} = De_{2d}}$ Dans la 2\textsuperscript{de} ligne de l'éq. 1 on a : 
-
-
-Puis on a dans la deuxième ligne de l'équation 1 : 
 
 \begin{equation*}
 	\begin{aligned}
@@ -58,9 +55,10 @@ Puis on a dans la deuxième ligne de l'équation 1 :
 		\int_{0}^{L} \phi^T(\zeta)d\zeta\times\dot{x}_{2d} &= -e_{1d}\int_{0}^{L}\phi(\zeta)\ddot{\phi}(\zeta)^T d\zeta - \underbrace{\int_{0}^{L}\phi(\zeta)q(\zeta,t)d\zeta}_{=F_{ext}}
 	\end{aligned}
 \end{equation*}
+\vspace*{-1.3em}
 
 Puis on trouve D :
-
+\vspace*{-.5em}
 \begin{equation*}
 	\begin{aligned}
 		& D = \phi(L)\dot{\phi}(L)^T - \phi(L)\dot{\phi}(L)^T + \int_{0}^{L}\ddot{\phi}(\zeta)\phi(\zeta)^Td\zeta \\
@@ -69,9 +67,7 @@ Puis on trouve D :
 		\Rightarrow & E\dot{x}_{2d} = -e_{1d}D^T + \overbrace{e_{1d}\dot{\phi}(L)\phi(L)^T}^{=0} - e_{1d}\phi(L)\dot{\phi}(L)^T - F_{ext}
 	\end{aligned}
 \end{equation*}
-
+\vspace*{-.8em}
-Or on sait que : 
-
 \begin{align*}
 	\Rightarrow\left\{\begin{aligned}
 		\frac{de_1}{d\zeta} = u(t) &\Rightarrow \dot{\phi}(L)^T e_{1d} = u(t) \\
@@ -82,7 +78,7 @@ Or on sait que :
 \end{align*}
 
 Puis on a ceci :
-
+\vspace*{-.1em}
 \begin{align*}
 	\left\{\begin{aligned}
 		y(t) &= -e_2 (L,t) \\
@@ -94,8 +90,7 @@ Puis on a ceci :
 
 
 \subsection{Question 3}
-On a :
+\vspace*{-2em}
-
 \begin{align*}
 	\left\{\begin{aligned}
 		e_1 = EIx_1 = x_1 &\Rightarrow e_{1d} = x_{1d} \\
@@ -108,11 +103,9 @@ On a :
 		y &= -\phi(L)^T x_{2d}
 	\end{aligned}\right.
 \end{align*}
-
+\vspace*{-.5em}
-Ce qui nous donne :
-
 \begin{equation*}
-	A = \begin{pmatrix}
+	\Rightarrow A = \begin{pmatrix}
 		0 & E^{-1}D \\
 		-E^{-1}D^T & 0
 	\end{pmatrix}, \  B = \begin{pmatrix}
@@ -130,8 +123,93 @@ Ce qui nous donne :
 	\end{pmatrix}
 	\end{aligned}\right. 
 \end{equation*}
+\vspace*{-1.5em}\\
+Puis application numérique
+\vspace*{-2em}\\
+\subsection{Question 4}
+\vspace*{-2em}
+\begin{equation*}
+	\omega(p, t) = C_\omega(p)x_d(t) = \begin{bmatrix}
+		\frac{p^2(2p^3-5p^2+10)}{20} & -\frac{p^4(2p-5)}{20} & \frac{p^3(3p^2-10p+10)}{60} & \frac{p^4(3p-5)}{60} & 0 & 0 & 0 & 0
+	\end{bmatrix}x_d(t)
+\end{equation*}
+
+\begin{equation*}
+	\phi(L)^T = \begin{bmatrix}
+		2p^3 - 3p^2 + 1 & 3p^2 - 2p^3 & p^3 - 2p^2 + p & p^3 - p^2
+	\end{bmatrix}
+\end{equation*}
+\vspace*{-4em}\\
+\subsection{Question 5}
+\vspace*{-2em}
+\begin{align*}
+	y  = -\phi(L)^Te_{2d} && y = -e_2(L, t) & & e_2(\zeta, t) \approx \phi(\zeta)^Te_{2d}(t)
+\end{align*}
+\vspace*{-2em}
+\begin{align*}
+	x_1 = \frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t)\approx\phi(\zeta)^2x_{1d} & & x_2(\zeta,t) = \rho(\zeta)\frac{\partial\omega}{\partial t}(\zeta,t) \approx\phi(\zeta)^Tx_{2d}
+\end{align*}
+\vspace*{-2em}
+\begin{align*}
+	\begin{bmatrix}
+		\dot{x}_{1d} \\ \dot{x}_{1d}
+	\end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}
+		x_{1d} \\ x_{2d}
+	\end{bmatrix} + Bu & & y = C \begin{bmatrix}
+		x_{1d} \\ x_{2d}
+	\end{bmatrix}
+\end{align*}
+\vspace*{-4em}\\
+
+\subsection{Question 7}
+
+\vspace*{-.5em}
+La sortie est donnée par $y(t) = C\,x_d(t)$, donc le système en boucle fermée s’écrit :
+
+\begin{equation*}
+	\begin{cases}
+		\dot{x}_d(t) = (A - B C k)\,x_d(t) + B H\,w_c(L,t) \\
+		w(L,t) = C_w(L)\,x_d(t)
+	\end{cases}
+\end{equation*}
+
+En régime permanent, $\dot{x}_d(t)=0$, donc :
+\begin{equation*}
+	0 = (A - B C k)\,x_d + B H\,C_w(L)\,x_d
+	\quad \Rightarrow \quad
+	x_d = -(A - B C k)^{-1} B H w_c(L,t)
+\end{equation*}
+
+En multipliant l’expression par $C_w(L)$, on trouve :
+\begin{equation*}
+	w(L,t) = C_w(L)\,x_d = -C_w(L)(A - B C k)^{-1} B H w_c(L,t)
+\end{equation*}
+
+Pour assurer le suivi $w(L,t) = w_c(L,t)$, il faut :
+\begin{equation*}
+	- C_w(L)(A - B C k)^{-1} B H = I
+\end{equation*}
+\vspace*{-4em}\\
+
+\subsection{Question 15}
+\vspace*{-.5em}
+On sait que :
+\begin{equation*}
+	F_{ext} = \int_{0}^{L}\phi(\zeta)q(\zeta,t)d\zeta
+	\quad \Rightarrow \quad 
+	F_{ext} = q_0(t) \cdot \int_{0}^{L}\phi(\zeta)d\zeta\ \text{ car }\ q(\zeta,t) = q_0(t)
+\end{equation*}
+Or on a $E\dot{x}_{2d} = - e_{1d}D^T - \phi(L)u(t) - F_{ext}$\\
+Donc, puisque $\dot{x}_{d}(t) = A x_d(t) + B u(t) + B_p q_0(t)$, on trouve les résultats d'en-haut.
+
+
+
+
+
+
+
+
 
-Puis application numérique.