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TeX
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\section{Modelisation}
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\vspace*{-2em}
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\begin{align*}
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\dot{x_{1}}, \dot{x_{2}} = f(e_{1},e_{2},q) & &
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\left\{ \begin{aligned}
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x_{1}(\zeta,t) &= \frac{\partial^{2}\omega}{\partial\varepsilon^{2}}\\
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x_{2}(\zeta,t) &= \rho(\zeta)\frac{\partial\omega}{dt}
|
|
\end{aligned} \right. & &
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\left\{ \begin{aligned}
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e_{1}(\zeta,t) &= EI(\zeta)x_{1}\\
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e_{2}(\zeta,t) &= \frac{1}{\rho(\zeta)}x_{2} = \frac{\partial\omega}{\partial t}
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\end{aligned} \right.
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\end{align*}
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\subsection{Question 1}
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\vspace*{-1.5em}
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\begin{align}
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\left\{\begin{aligned}
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\dot{x_{1}} &= \frac{\partial x_{1}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial^2\omega}{\partial \zeta^2}) = \frac{\partial^2}{\partial \zeta^2}(\frac{\partial^2\omega}{\partial t})\\
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|
\dot{x_{2}} &= \rho(\zeta)\frac{\partial^2\omega}{\partial t} = \underbrace{-\frac{\partial^{2}}{\partial \zeta^2}(EI(\zeta)\frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2})-q(\zeta,t)}_\text{EDP}
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\end{aligned}\right. & &
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\Rightarrow & &
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\boxed{\left\{\begin{aligned}
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\dot{x_{1}} &= \frac{\partial^2 e_2}{\partial\zeta^2} \\
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\dot{x_{2}} &= -\frac{\partial^2 e_1}{\partial\zeta^2}-q(\zeta,t)
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\end{aligned}\right. }
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\end{align}
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\subsection{Question 2}
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Voir annexe.
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\subsection{Question 3}
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\vspace*{-2em}
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\begin{equation*}
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A = \begin{pmatrix}
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0 & 0 & 0 & 0 & 114 & 6 & 12 & -2 \\
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0 & 0 & 0 & 0 & -54 & 6 & -2 & 4 \\
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0 & 0 & 0 & 0 & -1188 & -12 & -114 & 6 \\
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0 & 0 & 0 & 0 & -828 & -12 & -54 & 0 \\
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6 & 54 & 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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-6 & -114 & -2 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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-12 & -828 & -6 & 54 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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-12 & -1188 & -6 & 114 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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\end{pmatrix}, \ B = \begin{pmatrix}
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0 \\
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0 \\
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0 \\
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0 \\
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4 \\
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-16 \\
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-60 \\
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-120 \\
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\end{pmatrix}, \ C = \begin{pmatrix}
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0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0
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\end{pmatrix}
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\end{equation*}
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\subsection{Question 4}
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\vspace*{-1.5em}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question4}
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\end{figure}
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\vspace*{-0.5em}
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Les valeurs propres du système dans tous les cas (continu, discrétisé avec Tustin et bloqueur d'ordre 0) sont dans les zones de stabilité. La stabilité du système est vérifiée pour tous les cas.
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\subsection{Question 5}
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\vspace*{-2em}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question5}
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\end{figure}
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\subsection{Question 6}
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\vspace*{-2em}
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\begin{equation*}
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\begin{bmatrix}
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x_1 \\ x_2
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|
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
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\frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t) \\
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|
\rho(\zeta)\frac{\partial\omega}{\partial t}(\zeta,t)
|
|
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
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\phi(\zeta)^T & 0_{1 \times 4} \\
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|
0_{1 \times 4} & \phi(\zeta)^T
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|
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
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|
x_{1d} \\ x_{2d}
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|
\end{bmatrix}
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\end{equation*}
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\vspace*{-.4em}
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\begin{equation*}
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\frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t) = \underbrace{\begin{bmatrix}
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\phi(\zeta)^T & 0 & 0 & 0 & 0
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\end{bmatrix}}_{C.I.=0+0}x_{d}(t)
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\end{equation*}
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\vspace*{-1em}
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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\frac{\partial\omega}{\partial\zeta}(\zeta,t) &= \int\frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t)d\zeta = x_d(t)\int\begin{bmatrix}
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|
\phi(\zeta)^T & 0 & 0 & 0 & 0
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|
\end{bmatrix}d\zeta + C_1(t) \\
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\omega(\zeta,t) &= \int\int\frac{\partial^2\omega}{\partial^2\zeta^2}(\zeta,t)d\zeta^2 = x_d(t)\int\int\begin{bmatrix}
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|
\phi(\zeta)^T & 0 & 0 & 0 & 0
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|
\end{bmatrix}d\zeta^2 + \underbrace{\int C_1(t)d\zeta + C_2(t)}_{\zeta C_1(t) + C_2(t)}
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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Du côté gauche de la poutre soit $\zeta = 0$, la vitesse et la déformation de la poutre sont nulles. Grâce à ces deux données, nous pouvons calculer les constantes représentant les conditions
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initiales qui sont donc aussi nulles. En calculant les intégrales de $\phi(\zeta)$, nous retrouvons les coefficients de $C_w(\zeta)$. Nous avons alors bien $w(\zeta ,t) = C_w(\zeta) x_d (t)$.
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\section{Retour de sortie}
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\vspace*{-.5em}
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\subsection{Question 7}
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\vspace*{-.2em}
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Suivant les calculs de l'annexe, nous avons :
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\begin{equation*}
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\boxed{H = -\left(C_w(L)(A - B C k)^{-1} B\right)^{-1}}
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\end{equation*}
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Après calcul dans MATLAB, nous obtienons $\boxed{H = -3}$.
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\subsection{Question 8}
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\vspace*{-2em}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=30em]{Illustrations/Question8}
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\end{figure}
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\vspace*{-1em}
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\subsection{Question 9}
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\vspace*{-2em}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=25em]{Illustrations/Question9}
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\end{figure}
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\vspace*{-1em}
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En discrétisant notre système par la période d'échantillonnage $T_{s3} = 0.04 \ [s]$, on obtient une valeur propre
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en dehors du cercle unitaire de stabilité. Cette période d'échantillonnage déstabilise le système.
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\subsection{Question 10}
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\vspace*{-2em}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=30em]{Illustrations/Question10}
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\end{figure}
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\vspace*{-1em}
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La période d'échantillonnage maximale permettant de garantir la stabilité asymptotique
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est de $T_s \approx 0.011 \ [s]$.
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\section{Retour d'état}
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\vspace*{-1em}
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\subsection{Question 11}
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En utilisant la fonction \texttt{lqr()} de MATLAB avec $Q = I_8$ et $R = 1$, on trouve la matrice de gain :
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\begin{equation*}
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K = \begin{pmatrix}
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0.97 & -14.62 & 0.66 & 1.32 & 19.32 & 0.39 & 2.40 & -2.11
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|
\end{pmatrix}
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\end{equation*}
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\subsection{Question 12}
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\vspace*{-2em}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question12}
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\end{figure}
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\subsection{Question 13}
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La même période d'échantillonnage que la section précédente n'est pas appropriée pour cette loi de commande.
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La période d'échantillonnage maximale permettant de garantir la stabilité asymptotique
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est de $T_s = 0.0107 \ [s]$.
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\vspace*{-1em}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question13}
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\end{figure}
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\subsection{Question 14}
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En prenant une période d'échantillonnage $T_s = 0.01 \ [s]$, on se rapproche du comportement désiré de
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la question 12.
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\vspace*{-1em}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question14}
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\end{figure}
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\vspace*{-1em}
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\section{Rejection de perturbation}
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\vspace*{-1em}
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\subsection{Question 15}
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\vspace*{-2em}
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\begin{equation*}
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B_p = \begin{pmatrix}
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0_{4 \times 1} \\
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-\int_{0}^{L}\phi(\zeta)d\zeta
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|
\end{pmatrix}
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= \begin{pmatrix}
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|
0_{4 \times 1} \\
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|
\frac{1}{2} \\
|
|
\frac{1}{2} \\
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|
\frac{1}{12} \\
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|
-\frac{1}{12}
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|
\end{pmatrix}
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\end{equation*}
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\vspace*{-1em}
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\subsection{Question 16}
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\vspace*{-2em}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question16}
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\end{figure}
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\vspace*{-1em}
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Notre système ne permet pas de garantir une erreur nulle en régime permanent face
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à une perturbation constante.
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\subsection{Question 17}
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Nous souhaitons garder les mêmes valeurs propres que celles obtenues lors de la question 11
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avec la LQR. La valeur propre supplémentaire doit être plus à droite pour permettre
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de rejeter la perturbation. On choisit $\lambda_9 = -2$.
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On trouve alors :
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\vspace*{-.5em}
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\begin{equation*}
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\lambda = \begin{pmatrix}
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-84.66 & -7.56 \pm 68.77i & -27.97 \pm 17.24i & -15.91 & -4.38 \pm 2.66i & -2
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|
\end{pmatrix}^T
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\end{equation*}
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\subsection{Question 18}
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En utilisant la fonction \texttt{place()} de MATLAB, on trouve la matrice de gain $K$ suivante :
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\vspace*{-.5em}
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\begin{equation*}
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K_{aug} = \begin{pmatrix}
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|
K_1 & K_i
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|
\end{pmatrix}
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\quad \text{avec} \quad
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K_1 \in \mathbb{R}^{1 \times 8}, \;
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|
K_i \in \mathbb{R}
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\end{equation*}
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\vspace*{-2.8em}
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\begin{align*}
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|
K_1 = \begin{pmatrix}
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|
-0.89 & -16.59 & 0.28 & 1.68 & 19.39 & -0.84 & 2.36 & -1.94
|
|
\end{pmatrix} & &
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|
K_i = \begin{pmatrix}
|
|
12.00
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{align*}
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\subsection{Question 19}
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\vspace*{-2em}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question19}
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\end{figure}
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\vspace*{-1em}
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En utilisant l'action intégrale, on parvient à rejeter la perturbation constante et à garantir une erreur nulle en régime permanent.
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\subsection{Question 20}
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Nous pouvons utiliser les mêmes gains $K_1$ et $K_i$ dans l'implémentation avec un contrôleur
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numérique en prenant une période d'échantillonnage suffisamment court. La période d'échantillonnage
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maximale garantissant la stabilité asymptotique est de $T_s = 0.01066\ [s]$.
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En divisant la période d'échantillonnage par 5 soit $T_s \approx 0.002\ [s]$, on obtient une réponse du système
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répondant à la performance désirée et à la stabilité.
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