73 lines
No EOL
1.5 KiB
TeX
73 lines
No EOL
1.5 KiB
TeX
|
|
\textbf{Question 2}
|
|
|
|
À partir des informations données dans l'exercice, on peut écrire :
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\dot{x}_1
|
|
=
|
|
\frac{\partial^2 e_2}{\partial \zeta^2}
|
|
=
|
|
\phi(\zeta)^T \dot{x}_{1d}(t)
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
En multipliant les deux membres par le vecteur d'approximation $\phi(\zeta)$, on obtient :
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\phi(\zeta)
|
|
\frac{\partial^2 e_2}{\partial \zeta^2}
|
|
=
|
|
\phi(\zeta)\phi(\zeta)^T \dot{x}_{1d}(t)
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
En remplaçant ensuite $e_2$ par son approximation, on obtient :
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\phi(\zeta)
|
|
\frac{\partial^2}{\partial \zeta^2}
|
|
\left(
|
|
\phi(\zeta)^T e_{2d}(t)
|
|
\right)
|
|
=
|
|
\phi(\zeta)\phi(\zeta)^T \dot{x}_{1d}(t)
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Comme $e_{2d}(t)$ ne dépend pas de $\zeta$, il peut être sorti de l'intégrale. En intégrant sur $[0,L]$, on obtient :
|
|
\begin{equation}
|
|
\int_0^L
|
|
\phi(\zeta)\phi(\zeta)^T
|
|
\, d\zeta \,
|
|
\dot{x}_{1d}(t)
|
|
=
|
|
\int_0^L
|
|
\phi(\zeta)
|
|
\frac{\partial^2 \phi(\zeta)^T}{\partial \zeta^2}
|
|
\, d\zeta \,
|
|
e_{2d}(t)
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Après avoir fait une integration par partie:
|
|
à inserer:\\
|
|
|
|
|
|
|
|
On identifie alors les matrices $E$ et $D$. Ainsi, les deux équations d'état discrétisées s'écrivent :
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\begin{aligned}
|
|
E\dot{x}_{1d}(t) &= D e_{2d}(t),\\
|
|
E\dot{x}_{2d}(t) &= -D^T e_{1d}(t)-\phi(L)u(t)-F_{ext}.
|
|
\end{aligned}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Enfin, on obtient :
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\boxed{
|
|
\begin{aligned}
|
|
E\dot{x}_{1d}(t) &= D e_{2d}(t),\\
|
|
E\dot{x}_{2d}(t) &= -D^T e_{1d}(t)-\phi(L)u(t)-F_{ext},\\
|
|
y(t) &= -\phi(L)^T e_{2d}(t).
|
|
\end{aligned}
|
|
}
|
|
\end{equation} |