\textbf{Question 2}

À partir des informations données dans l'exercice, on peut écrire :

\begin{equation}
\dot{x}_1
=
\frac{\partial^2 e_2}{\partial \zeta^2}
=
\phi(\zeta)^T \dot{x}_{1d}(t)
\end{equation}

En multipliant les deux membres par le vecteur d'approximation $\phi(\zeta)$, on obtient :

\begin{equation}
\phi(\zeta)
\frac{\partial^2 e_2}{\partial \zeta^2}
=
\phi(\zeta)\phi(\zeta)^T \dot{x}_{1d}(t)
\end{equation}

En remplaçant ensuite $e_2$ par son approximation, on obtient :

\begin{equation}
\phi(\zeta)
\frac{\partial^2}{\partial \zeta^2}
\left(
\phi(\zeta)^T e_{2d}(t)
\right)
=
\phi(\zeta)\phi(\zeta)^T \dot{x}_{1d}(t)
\end{equation}

Comme $e_{2d}(t)$ ne dépend pas de $\zeta$, il peut être sorti de l'intégrale. En intégrant sur $[0,L]$, on obtient :
\begin{equation}
\int_0^L
\phi(\zeta)\phi(\zeta)^T
\, d\zeta \,
\dot{x}_{1d}(t)
=
\int_0^L
\phi(\zeta)
\frac{\partial^2 \phi(\zeta)^T}{\partial \zeta^2}
\, d\zeta \,
e_{2d}(t)
\end{equation}

Après avoir fait une integration par partie:
à inserer:\\



On identifie alors les matrices $E$ et $D$. Ainsi, les deux équations d'état discrétisées s'écrivent :

\begin{equation}
\begin{aligned}
E\dot{x}_{1d}(t) &= D e_{2d}(t),\\
E\dot{x}_{2d}(t) &= -D^T e_{1d}(t)-\phi(L)u(t)-F_{ext}.
\end{aligned}
\end{equation}

Enfin, on obtient :

\begin{equation}
\boxed{
\begin{aligned}
E\dot{x}_{1d}(t) &= D e_{2d}(t),\\
E\dot{x}_{2d}(t) &= -D^T e_{1d}(t)-\phi(L)u(t)-F_{ext},\\
y(t) &= -\phi(L)^T e_{2d}(t).
\end{aligned}
}
\end{equation}