\psection{Introduction}

\vspace{0.25cm}
Le bille sur rail est une manipulation où le but est de stabiliser une bille sur un rail. Le rail est commandé par une tension, et les données lues sont l'angle du rail et la position de la bille. La position est achevé à l'aide d'un lecture d'impedance.
\vspace{0.5cm}
\\ \textbf{Le schèma de forces de la bille sur rail:}

\includegraphics{./Illustrations/Schema_Forces.png}

\newpage
\section{Identification du système: Rail}
\subsection{Analyse du schèma bloc et setup}
Nous avons remarqué que l'identification du système se fait en bouclé fermé. Voici le schèma bloc désignant le système que nous pouvons manipuler: \{Sett inn bilde av schèma bloc, système rail\}

\subsection{Mise en oeuvre de N4SID}
On a utilisé la fonction n4sid() que pouvons retrouver sur matlab. Nous avons fait une experiènce temporel, frequentiel et avec Loewner. 
Voici le comportement des differents modèles obtenu: \{Sett inn bilde av n4sid\}

Après avoir comparé les differents modèles avec le vrai système, 
Cela nous avait mené à résumer le systeme du rail à la fonction de transfert suivante :
$$G(p) = \frac{NUM}{DEN}$$


\subsection{Fonction transfert du système: Rail}
Après avoir trouvé un modèle qui nous va, nous avons ensuite retrouvé la vraie fonction transferte du rail. Avec la relation qui suit: 
\\


%%Lånt av disse her, smarte folk!
% Source - https://tex.stackexchange.com/q/175969
% Posted by student1, modified by community. See post 'Timeline' for change history
% Retrieved 2026-04-02, License - CC BY-SA 3.0


% Source - https://tex.stackexchange.com/a/175970
% Posted by Peter Grill, modified by community. See post 'Timeline' for change history
% Retrieved 2026-04-02, License - CC BY-SA 3.0



\tikzstyle{block} = [draw, fill=white, rectangle, 
    minimum height=3em, minimum width=6em]
\tikzstyle{sum} = [draw, fill=white, circle, node distance=1cm]
\tikzstyle{input} = [coordinate]
\tikzstyle{output} = [coordinate]
\tikzstyle{pinstyle} = [pin edge={to-,thin,black}]

\begin{tikzpicture}[auto, node distance=2cm,>=latex]

    \node [input, name=input] {};
    \node [sum, right of=input] (sum) {};
    %%\node [block, right of=sum] (controller) {};
    \node [block, right of=sum,
            node distance=3cm] (system) {$G_{Rail}(s)$};

    \draw [->] (sum) -- node[name=u] {$u$} (system);
    \node [output, right of=system] (output) {};
    %\node [block, below of=u] (measurements) {Measurements};
    \coordinate [below of=u] (measurements) {};

    \draw [draw,->] (input) -- node {$r$} (sum);
    %\draw [->] (sum) -- node {$e$} (system);
    \draw [->] (system) -- node [name=y] {$y$}(output);
    %\draw [->] (y) |- (measurements);
    \draw [-] (y) |- (measurements);
    %\draw [->] (measurements) -| node[pos=0.99] {$-$} 
    \draw [->] (measurements) -| %node[pos=1.00] {$-$} 
        node [near end] {$y_m$} (sum);

\coordinate [below=1.7cm of sum] (u1) {};
\coordinate [below=1.88cm of y] (u2) {};
\draw[
decorate,
decoration={brace, mirror, amplitude=8pt}
]
(u1.south west) -- (u2.south east)
node[midway, below=10pt] {$H(s)$};
        
        
    %\draw [->] 
\end{tikzpicture}
\bigskip


\begin{equation}
    H(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}\Rightarrow G(s)=\frac{H(s)}{1+H(s)}
\end{equation}

    
\subsection{Calcul du correcteur du système: P}
Nous avons conçu un retour PID pour le système du rail. Après avoir parlé avec le professeur, il nous a dit que le système est déjà equipé avec un integrateur. Donc nous avons choisi un système bouclé avec un simple correcteur P. Comme nous pouvons voir ci-dessous:
\\


\begin{tikzpicture}[auto, node distance=2cm,>=latex]

    \node [input, name=input] {};
    \node [sum, right of=input] (sum) {};
    \node [block, right of=sum] (controller) {Controleur: P};
    \node [block, right of=controller,
            node distance=3cm] (system) {$G_{Rail}(s)$};

    \draw [->] (controller) -- node[name=u] {$u$} (system);
    \node [output, right of=system] (output) {};
    %\node [block, below of=u] (measurements) {Measurements};
    \coordinate [below of=u] (measurements) {};

    \draw [draw,->] (input) -- node {$r$} (sum);
    \draw [->] (sum) -- node {$e$} (controller);
    \draw [->] (system) -- node [name=y] {$y$}(output);
    %\draw [->] (y) |- (measurements);
    \draw [-] (y) |- (measurements);
    %\draw [->] (measurements) -| node[pos=0.99] {$-$} 
    \draw [->] (measurements) -| %node[pos=1.00] {$-$} 
        node [near end] {$y_m$} (sum);

\coordinate [below=1.7cm of sum] (u1) {};
\coordinate [below=1.88cm of y] (u2) {};
\draw[
decorate,
decoration={brace, mirror, amplitude=8pt}
]
(u1.south west) -- (u2.south east)
node[midway, below=10pt] {$H_C(s)$};
        
        
    %\draw [->] 
\end{tikzpicture}

Après avoir conçu le système avec n4sid(), nous avons retrouvé la fonction transferte: 

\begin{equation}
    G(s)=\frac{H(s)}{1+H(s)}
\end{equation}

\begin{equation}
   G_{BF}(s)=\frac{P*G(s)}{1+P*G(s)}
\end{equation}



\section{Loi de commande du bille sur rail}
Pour cette deuxième boucle du système, on commence avec la boucle déjà existante. On trace le diagramme de Bode pour cet système pour mieux ananlyser les besoin du système. Cet diagramme est comme suit :
\newpage
\includesvg{./Illustrations/bodeRail} \\
Pour qu'on puisse augmenter les marges de phase, on utilise un correcteur d'avance de phase.
Le correcteur d'avance de phase a une fonction de transfert sur la forme canonique  : $$G(p) = \frac{1 + \alpha T p}{1 + T p}, avec \  \alpha \ > \ 1$$
\includesvg{./Illustrations/bodeCorrecteur} \\


\section{Another section}
\subsection{Une sous section}
\subsubsection{Une sous sous section}
Un mot compliqué\footnote{Une note de bas de page}

\newpage
\psection{Conclusion}
Une conclusion
