367 lines
11 KiB
Prolog
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11 KiB
Prolog
%***************************
|
||
% Gestion d'un AVL en Prolog
|
||
%***************************
|
||
|
||
%***************************
|
||
% INSA TOULOUSE - P.ESQUIROL
|
||
% mars 2017
|
||
%***************************
|
||
|
||
%*************************
|
||
% unit tests : OK
|
||
% integration aetoile : OK
|
||
%*************************
|
||
|
||
% Les AVL sont des arbres BINAIRES DE RECHERCHE H-EQUILIBRES :
|
||
% La hauteur de l'avl A est d<>finie par :
|
||
% -1, si A est vide (A=nil)
|
||
% 1 + max( hauteur(ss_arbre_gauche(A)), hauteur(ss_arbre_droitee(A)) ) sinon
|
||
|
||
% Tout noeud de l'arbre est soit :
|
||
% - une feuille
|
||
% - un noeud interne tel que la diff<66>rence de hauteur entre le sous-arbre droit
|
||
% et le sous-arbre gauche appartient <20> [-1,0,+1]
|
||
|
||
|
||
%***********************************************
|
||
% PREDICATS EXPORTES ET COMPLEXITE ALGORITHMIQUE
|
||
%***********************************************
|
||
% soit N = nombre de noeuds de l'arbre % UTILITE POUR A*
|
||
% % ----------------
|
||
% empty(?Avl) O(1) %<<< initialisation de P et Q
|
||
% height(+Avl, ?Height) O(1)
|
||
% put_flat(+Avl) O(N)
|
||
% put_90(+Avl) O(N)
|
||
% belongs(+Elem, +Avl) O(log N) %<<< appartenance d'un noeud <20> Q
|
||
% subtree(+Elem, +Avl, Ss_Avl) O(log N)
|
||
% insert(+Elem, +Avant, ?Apres) O(log N) %<<< insertion d'un nouveau noeud dans P ou dans Q
|
||
% suppress(+Elem,+Avant,?Apres) O(log N) %<<< mise <20> jour <=> suppression puis insertion
|
||
% suppress_min(?Min,+Avant,?Apres) O(log N) %<<< supression du noeud minimal
|
||
% suppress_max(?Max,+Avant,?Apres) O(log N)
|
||
|
||
%****************************
|
||
% Pr<50>dicats internes (prives)
|
||
%****************************
|
||
|
||
% left_rotate(+Avant, ?Apres) O(1)
|
||
% right_rotate(+Avant, ?Apres) O(1)
|
||
% left_balance(+Avant, ?Apres) O(1)
|
||
% right_balance(+Avant, ?Apres) O(1)
|
||
|
||
|
||
|
||
%------------------------------
|
||
% Constructeur et test AVL vide
|
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%------------------------------
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||
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||
empty(nil).
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||
|
||
%-----------------
|
||
% Hauteur d'un AVL
|
||
%-----------------
|
||
% par convention, un avl vide a une hauteur de -1
|
||
% sinon la hauteur est enregistree au meme niveau que la racine de l'avl
|
||
% elle n'est pas calculee recursivement "from scratch"
|
||
% elle est mise <20> jour de fa<66>on incr<63>mentale, apres chaque insertion ou suppression
|
||
% d'ou sa complexit<69> en O(1) :-)
|
||
|
||
height(nil, -1).
|
||
height(avl(_G,_R,_D, H), H).
|
||
|
||
%-------------------
|
||
% Affichage d'un AVL
|
||
%-------------------
|
||
% dans l'ordre croissant (lexicographique)
|
||
|
||
put_flat(nil):-!.
|
||
put_flat(avl(G,R,D,_H)) :-
|
||
put_flat(G),
|
||
nl, write(R),
|
||
put_flat(D).
|
||
|
||
%----------------------------
|
||
% Affichage (couch<63>) d'un AVL
|
||
%----------------------------
|
||
|
||
put_90(Avl) :-
|
||
nl, writeln('----------------------------------'),
|
||
put_90(Avl,"").
|
||
|
||
put_90(nil,Str) :-
|
||
write(Str), write('.').
|
||
put_90(avl(G,R,D,_H),Str) :-
|
||
append_strings(Str, " ", Str2),
|
||
put_90(D,Str2),
|
||
nl, write(Str), write(R),nl,
|
||
put_90(G,Str2).
|
||
|
||
%-----------------------------------------
|
||
% Appartenance d'un element donne a un AVL
|
||
%-----------------------------------------
|
||
|
||
belongs(Elem, avl(G,Racine,D,_Hauteur)) :-
|
||
(Elem = Racine ->
|
||
true
|
||
;
|
||
(Elem @< Racine ->
|
||
belongs(Elem, G)
|
||
;
|
||
belongs(Elem, D) %Racine @< Elem
|
||
)
|
||
).
|
||
|
||
%------------------------------------------------------------
|
||
% Recherche du sous-arbre qui a comme racine un element donne
|
||
%------------------------------------------------------------
|
||
|
||
subtree(Elem, avl(G,Racine,D,H), A) :-
|
||
(Elem = Racine ->
|
||
A = avl(G,Racine,D,H)
|
||
;
|
||
(Elem @< Racine ->
|
||
subtree(Elem,G,A)
|
||
;
|
||
subtree(Elem,D,A) %Racine @< Elem
|
||
)
|
||
).
|
||
|
||
%----------------------
|
||
% Rotations dans un avl
|
||
%----------------------
|
||
% Les rotations ci-dessous d<>crivent uniquement les cas ou la rotation est possible.
|
||
% Dans les autres cas, ces relations <20>chouent ; plus pr<70>cis<69>ment :
|
||
% a/ si l'arbre est un avl vide, alors aucune rotation n'est possible ;
|
||
% b/ si l'arbre est un avl non vide mais si son ss-arbre gauche est un avl vide
|
||
% alors la rotation droite n'est pas possible ;
|
||
% c/ si l'arbre est un avl non vide mais si son ss-arbre droite est un avl vide
|
||
% alors la rotation gauche n'est pas possible.
|
||
|
||
right_rotate(avl(G,R,D,_H), A_Apres) :-
|
||
height(D,HD),
|
||
G = avl(SG,RG,SD,_HG),
|
||
height(SD,HSD),
|
||
H_Inter is 1 + max(HSD, HD),
|
||
Inter = avl(SD,R,D,H_Inter),
|
||
height(SG,HSG),
|
||
H_Apres is 1 + max(HSG,H_Inter),
|
||
A_Apres = avl(SG,RG,Inter,H_Apres).
|
||
|
||
left_rotate(avl(G,R,D,_), A_Apres) :-
|
||
height(G,HG),
|
||
D = avl(SG,RD,SD,_),
|
||
height(SG,HSG),
|
||
H_Inter is 1 + max(HSG, HG),
|
||
Inter = avl(G,R,SG,H_Inter),
|
||
height(SD,HSD),
|
||
H_Apres is 1 + max(H_Inter,HSD),
|
||
A_Apres = avl(Inter,RD,SD,H_Apres).
|
||
|
||
%---------------------------------
|
||
% Insertion equilibree dans un avl
|
||
%---------------------------------
|
||
% On suppose que l'arbre avant insertion est equilibr<62> (difference de hauteur
|
||
% entre les ss-arbres gauche et droite de 1 au maximum)
|
||
% L'insertion doit assurer qu'apres insertion l'arbre est toujours equilibre
|
||
% sinon les rotations necessaires sont effectuees.
|
||
|
||
% On suppose que les noeuds contiennent des informations que l'on peut comparer
|
||
% a l'aide d'une relation d'ordre lexicographique (la cle c'est l'info elle-meme)
|
||
% En prolog, c'est la relation '@<'
|
||
% On peut comparer par exemple des integer, des string, des constantes,
|
||
% des listes d'entiers, des listes de constantes, etc ... bref, des termes clos
|
||
% T1 @< T2 est vrai si T1 est lexicographiquement inf<6E>rieur a T2.
|
||
|
||
insert(Elem, nil, avl(nil,Elem,nil,0)).
|
||
insert(Elem, AVL, NEW_AVL) :-
|
||
AVL = avl(Gauche,Racine,Droite,_Hauteur),
|
||
(Elem = Racine ->
|
||
% l'<27>l<EFBFBD>ment est d<>j<EFBFBD> present, pas d'insertion possible
|
||
fail
|
||
;
|
||
(Elem @< Racine ->
|
||
% insertion dans le ss-arbre gauche
|
||
insert(Elem, Gauche, New_Gauche),
|
||
height(New_Gauche, New_HG),
|
||
height(Droite, HD),
|
||
H_Int is 1+max(New_HG, HD),
|
||
AVL_INT = avl(New_Gauche, Racine, Droite, H_Int),
|
||
right_balance(AVL_INT, NEW_AVL)
|
||
;
|
||
% Elem @> Racine
|
||
% insertion dans le ss-arbre droite
|
||
insert(Elem, Droite, New_Droite),
|
||
height(New_Droite, New_HD),
|
||
height(Gauche, HG),
|
||
H_Int is 1+max(New_HD, HG),
|
||
AVL_INT =avl(Gauche, Racine,New_Droite, H_Int),
|
||
left_balance(AVL_INT, NEW_AVL)
|
||
)
|
||
).
|
||
|
||
%------------------------------------------------
|
||
% Suppression d'un element quelconque dans un avl
|
||
%------------------------------------------------
|
||
% On suppose que l'<27>l<EFBFBD>ment <20> supprimer appartient bien <20> l'AVL,
|
||
% sinon le predicat <20>choue (en particulier si l'AVL est vide).
|
||
|
||
suppress(Elem, AVL, NEW_AVL) :-
|
||
AVL = avl(Gauche, Racine, Droite, _Hauteur),
|
||
(Elem = Racine ->
|
||
% cas de la suppression de la racine de l'avl
|
||
(Gauche = nil -> % cas simple d'une feuille ou d'un avl sans fils gauche
|
||
NEW_AVL = Droite
|
||
;
|
||
(Droite = nil -> % cas simple d'un avl avec fils gauche mais sans fils droit
|
||
NEW_AVL = Gauche
|
||
;
|
||
% cas d'un avl avec fils gauche ET fils droit
|
||
%Gauche \= nil
|
||
%Droite \= nil
|
||
suppress_max(Max, Gauche, New_Gauche),
|
||
AVL_INT = avl(New_Gauche,Max,Droite,_),
|
||
left_balance(AVL_INT, NEW_AVL)
|
||
)
|
||
)
|
||
;
|
||
% cas des suppressions d'un element autre que la racine
|
||
(Elem @< Racine ->
|
||
% suppression dans le ss-arbre gauche
|
||
suppress(Elem, Gauche, New_Gauche),
|
||
AVL_INT = avl(New_Gauche, Racine, Droite,_),
|
||
left_balance(AVL_INT, NEW_AVL)
|
||
;
|
||
%Racine @< Droite
|
||
% suppression dans le ss-arbre droite
|
||
suppress(Elem, Droite, New_Droite),
|
||
AVL_INT = avl(Gauche, Racine, New_Droite,_),
|
||
right_balance(AVL_INT, NEW_AVL)
|
||
)
|
||
).
|
||
|
||
%-------------------------------------------------------
|
||
% Suppression du plus petit element dans un avl non vide
|
||
%-------------------------------------------------------
|
||
% Si l'avl est vide, le pr<70>dicat <20>choue
|
||
|
||
suppress_min(Min, AVL, NEW_AVL) :-
|
||
AVL = avl(Gauche,Racine,Droite, _Hauteur),
|
||
(Gauche = nil ->
|
||
Min = Racine,
|
||
NEW_AVL = Droite
|
||
;
|
||
% Gauche \= nil
|
||
suppress_min(Min, Gauche, New_Gauche),
|
||
AVL_INT = avl(New_Gauche, Racine, Droite,_),
|
||
left_balance(AVL_INT, NEW_AVL)
|
||
).
|
||
|
||
%-------------------------------------------------------
|
||
% Suppression du plus grand element dans un avl non vide
|
||
%-------------------------------------------------------
|
||
% Si l'avl est vide, le pr<70>dicat <20>choue
|
||
|
||
suppress_max(Max, AVL, NEW_AVL) :-
|
||
AVL = avl(Gauche,Racine,Droite, _Hauteur),
|
||
(Droite = nil ->
|
||
Max = Racine,
|
||
NEW_AVL = Gauche
|
||
;
|
||
% Droite \= nil
|
||
suppress_max(Max, Droite, New_Droite),
|
||
AVL_INT = avl(Gauche, Racine, New_Droite,_),
|
||
right_balance(AVL_INT, NEW_AVL)
|
||
).
|
||
|
||
%----------------------------------------
|
||
% Re-equilibrages d'un avl vers la gauche
|
||
%----------------------------------------
|
||
% - soit apres insertion d'un element dans le sous-arbre droite
|
||
% - soit apres suppression d'un <20>l<EFBFBD>ment dans le sous-arbre gauche
|
||
%----------------------------------------------------------------
|
||
|
||
left_balance(Avl, New_Avl) :-
|
||
Avl = avl(Gauche, Racine, Droite, _Hauteur),
|
||
height(Gauche, HG),
|
||
height(Droite, HD),
|
||
(HG is HD-2 ->
|
||
% le sous-arbre droite est trop haut
|
||
Droite = avl(G_Droite, _R_Droite, D_Droite, _HD),
|
||
height(G_Droite, HGD),
|
||
height(D_Droite, HDD),
|
||
(HDD > HGD ->
|
||
% une simple rotation gauche suffit
|
||
left_rotate(Avl, New_Avl)
|
||
;
|
||
% il faut faire une rotation droite_gauche
|
||
right_rotate(Droite, New_Droite),
|
||
height(New_Droite, New_HD),
|
||
H_Int is 1+ max(HG, New_HD),
|
||
Avl_Int = avl(Gauche, Racine, New_Droite, H_Int),
|
||
left_rotate(Avl_Int, New_Avl)
|
||
)
|
||
;
|
||
% la suppression n'a pas desequilibre l'avl
|
||
New_Hauteur is 1+max(HG,HD),
|
||
New_Avl = avl(Gauche, Racine, Droite, New_Hauteur)
|
||
).
|
||
|
||
%----------------------------------------
|
||
% Re-equilibrages d'un avl vers la droite
|
||
%----------------------------------------
|
||
% - soit apres insertion d'un element dans le sous-arbre gauche
|
||
% - soit apres suppression d'un <20>l<EFBFBD>ment dans le sous-arbre droite
|
||
%----------------------------------------------------------------
|
||
|
||
right_balance(Avl, New_Avl) :-
|
||
Avl = avl(Gauche, Racine, Droite, _Hauteur),
|
||
height(Gauche, HG),
|
||
height(Droite, HD),
|
||
(HD is HG-2 ->
|
||
% le sous-arbre gauche est trop haut
|
||
Gauche = avl(G_Gauche, _R_Gauche, D_Gauche, _HG),
|
||
height(G_Gauche, HGG),
|
||
height(D_Gauche, HDG),
|
||
(HGG > HDG ->
|
||
% une simple rotation droite suffit
|
||
right_rotate(Avl, New_Avl)
|
||
;
|
||
% il faut faire une rotation gauche_droite
|
||
left_rotate(Gauche, New_Gauche),
|
||
height(New_Gauche, New_HG),
|
||
H_Int is 1+ max(New_HG, HD),
|
||
Avl_Int = avl(New_Gauche, Racine, Droite, H_Int),
|
||
right_rotate(Avl_Int, New_Avl)
|
||
)
|
||
;
|
||
% la suppression n'a pas desequilibre l'avl
|
||
New_Hauteur is 1+max(HG,HD),
|
||
New_Avl = avl(Gauche, Racine, Droite, New_Hauteur)
|
||
).
|
||
|
||
%-----------------------------------------
|
||
% Arbres utilises pour les tests unitaires
|
||
%-----------------------------------------
|
||
avl_test(1, nil).
|
||
avl_test(2, avl(nil, 1, nil, 0)).
|
||
avl_test(3, avl(nil, 1, avl(nil,2,nil,0), 1)).
|
||
avl_test(4, avl(avl(nil,1,nil,0),2, nil, 1)).
|
||
avl_test(5, avl(avl(nil,1,nil,0), 2, avl(nil,3,nil,0),1) ).
|
||
avl_test(6, avl(avl(nil,5,nil,0), 6, avl(nil,7,nil,0),1) ).
|
||
avl_test(7, avl(G,4,D,2)) :-
|
||
avl_test(5,G),
|
||
avl_test(6,D).
|
||
avl_test(8, avl(G,5,D,2)) :-
|
||
D = avl(nil,6,nil,0),
|
||
avl_test(3,G).
|
||
avl_test(9, avl(G,3,D,2)) :-
|
||
G = avl(nil,1,nil,0),
|
||
avl_test(4,D).
|
||
|
||
/* Test uniquement valable avec ECLiPSe
|
||
|
||
avl_test(10, Final) :-
|
||
empty(Init),
|
||
(for(I,1,20), fromto(Init,In,Out,Final) do
|
||
insert(I,In,Out)
|
||
).
|
||
*/
|