diff --git a/INSA/TP anadon/TP3-ACP.html b/INSA/TP anadon/TP3-ACP.html deleted file mode 100644 index 7601037..0000000 --- a/INSA/TP anadon/TP3-ACP.html +++ /dev/null @@ -1,1757 +0,0 @@ - - - - - - - - - - - - - -TP3 - Analayse en Composantes Principales (ACP) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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1 Description des -données

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Les données étudiées dans ce TP ont été recueillies à Rennes dans -\(112\) stations durant l’été 2001. Les -13 variables observées sont :

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  • maxO3 : Maximum de concentration d’ozone observé sur la journée en -\(\mu\)gr/m3
    • -
  • T9, T12, T15 : Température observée à 9, 12 et 15h
    • -
  • Ne9, Ne12, Ne15 : Nébulosité observée à 9, 12 et 15h
    • -
  • Vx9, Vx12, Vx15 : Composante E-O du vent à 9, 12 et 15h
    • -
  • vent : orientation du vent à 12h
    • -
  • pluie : occurrence ou non de précipitations
    • -
  • maxO3v : Maximum de concentration d’ozone observé la veille
    • -
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On charge les données, on transforme les variables qualitatives -pluie et vent, et on supprime la dernière variable que -l’on n’utilisera pas dans ce TP.

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Ozone <- read.table("Ozone.txt", header = T)
-Ozone$pluie <- as.factor(Ozone$pluie)
-Ozone$vent <- as.factor(Ozone$vent)
-Ozone <- Ozone[, -11]
-summary(Ozone)
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Ainsi on a un jeu de données composé de \(n=112\) individus et \(p=12\) variables.

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dim(Ozone)
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Question : Pour vous familiariser avec le jeu de -données, quelques statistiques descriptives ont été programmées. -Commentez les résultats.

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ggplot(melt(Ozone[, -c(11, 12)]), aes(x = variable, y = value)) + geom_boxplot()
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-g1 <- ggplot(Ozone, aes(x = maxO3)) + geom_density()
-g2 <- ggplot(melt(Ozone[, c(2:4)]), aes(x = value, color = variable)) + geom_density()
-g3 <- ggplot(melt(Ozone[, c(5:7)]), aes(x = value, color = variable)) + geom_density()
-g4 <- ggplot(melt(Ozone[, c(8:10)]), aes(x = value, color = variable)) + geom_density()
-grid.arrange(g1, g2, g3, g4, ncol = 2)
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-ggplot(Ozone, aes(x = pluie)) + geom_bar(aes(y = (..count..)/sum(..count..))) + ylab("") +
-    ggtitle("Frequences")
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-quan <- as.vector(table(Ozone$vent))/nrow(Ozone)
-df <- data.frame(group = levels(Ozone$vent), value = quan)
-ggplot(df, aes(x = "", y = value, fill = group)) + geom_bar(width = 1, stat = "identity") +
-    coord_polar("y", start = 0) + theme(legend.position = "bottom")
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Question : Représentez graphiquement les -corrélations des variables quantitatives (vous pourrez utiliser la -fonction corrplot()). Quelles sont les variables -linéairement corrélées (ou non) ?

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# A COMPLETER
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2 ACP centrée

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Dans cette section, on décide de faire une analyse en composantes -principales (ACP) sur les données centrées. A l’aide de la fonction -scale(), centrez les données. Vérifiez que les variables -sont bien centrées avec apply(...,2,mean).

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OzoneC <- scale(...)  # A COMPLETER
-apply(OzoneC, 2, mean)
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2.1 A la main

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Question : A l’aide de la fonction -diag(), créez la matrice de poids \(W=\frac 1 n I_n\) et la métrique \(M=I_p\).

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W <- ...
-M <- ...
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Question : Quelle matrice cherche-t-on à -diagonaliser dans ce cadre en ACP ? Programmez cette matrice (rappelons -que la multiplication matricielle est %*%) et -diagonalisez-la à l’aide de la fonction eigen().

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Gamma <- ....  # A COMPLETER
-A <- eigen(...)
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Question : Que représentent les valeurs propres -(A$values) dans ce cas ? Que représente la somme de ces -valeurs propres ? Vérifiez numériquement.

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# A COMPLETER
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Question : Calculez les pourcentages (cumulés ou -non) d’inertie portés par chaque axe. Combien de composantes principales -décidez-vous de retenir ? Vous pouvez vous aider des fonctions -sum() et cumsum().

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# A COMPLETER
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Question : Que représentent les vecteurs propres -(A$vectors) ? Construisez la matrice \(C\) des composantes principales et vérifiez -que la matrice \(C\) est de dimension -\(n\times p\). Que représentent les -coordonnées de la première colonne de \(C\) ?

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# A COMPLETER
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2.2 Avec le package -FactoMineR

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Rassurez-vous, nous avons programmé les étapes de l’ACP à des fins -pédagogiques. En pratique, on utilise la librairie -FactoMineR. Et on s’appuie sur la librairie -factoextra pour les graphiques.

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On commence par programmer l’ACP centrée (pas réduite, -scale.unit=F). On peut déclarer à la fonction -PCA des variables qualitatives et quantitatives -supplémentaires, ainsi que des individus supplémentaires. Ces éléments -ne sont donc pas utilisés pour calculer l’ACP mais peuvent être -exploités par la suite. Ici, on déclare donc les deux variables -qualitatives pluie et vent supplémentaires. On trace -ensuite les valeurs propres avec la fonction -fviz_eig().

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respca <- PCA(Ozone, quali.sup = c(11, 12), scale.unit = F, graph = F)
-respca$eig
-fviz_eig(respca)
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2.2.1 Etude des -individus

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Question : Que contient la sortie -respca$ind$coord$ ? Comparez avec les résultats de la -partie précédente ? Vérifiez visuellement à l’aide de la commande -fviz_pca_ind(respca).

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fviz_pca_ind(respca, geom = c("point"))
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Question : Que représentent les graphiques suivants -? Commentez.

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fviz_pca_ind(respca, col.ind = "contrib", geom = c("point"))
-fviz_pca_ind(respca, geom = c("point"), select.ind = list(cos2 = 0.95))
-fviz_pca_ind(respca, habillage = 11, geom = c("point"))
-fviz_pca_ind(respca, habillage = 12, geom = c("point"))
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2.2.2 Etude des -variables

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Question : On représente le graphique des -corrélations entre les variables initiales et les méta-variables. -Commentez.

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plot(respca, choix = "varcor")
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Question : Afin de visualiser les corrélations des -variables initiales avec toutes les méta-variables, utilisez la fonction -coorplot(). Commentez.

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corrplot(respca$var$cor, method = "ellipse")
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3 ACP centrée -réduite

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3.1 A la main

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On fait maintenant une analyse en composantes principales sur les -données centrées et réduites.

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s <- sqrt((n - 1) * apply(OzoneC, 2, var)/n)
-OzoneCR <- OzoneC %*% diag(1/s)
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Question : Comparez OzoneCR avec -scale(Ozone[,-c(11,12)]).

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# A COMPLETER
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Question : Quelle matrice cherche-t-on à -diagonaliser dans ce cadre en ACP ? Programmez cette matrice et -diagonalisez-la à l’aide de la fonction eigen().

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Gamma2 <- ....  # A COMPLETER
-B <- eigen(...)
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Question : Que représentent les valeurs propres dans -ce cas ? Que représente la somme de ces valeurs propres ? Vérifiez -numériquement.

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# A COMPLETER
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Question : Comment peut-on obtenir les résultats de -cette ACP centrée réduite à partir du tableau de données centrées. -Vérifiez numériquement.

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# A COMPLETER
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3.2 Avec FactoMineR

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Question : On fait une ACP centrée réduite à l’aide -de la fonction PCA() de la librairie -FactoMineR en imposant scale.unit=T et on -trace les valeurs propres à l’aide de fviz_eig() de la -librairie factoextra. Interprétez les résultats.

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respca2 <- PCA(Ozone, quali.sup = c(11, 12), scale.unit = T, graph = F)
-respca2$eig
-fviz_eig(respca2)
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Question : Représentez le graphe des individus et -celui des variables à l’aide des fonctions fviz_pca_ind()et -fviz_pca_var() dans le premier plan factoriel. Quelles -différences remarquez-vous avec l’ACP centrée ?

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# A COMPLETER
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Question : Afin de visualiser les corrélations des -variables intiales avec toutes les méta-variables, utilisez la fonction -corrplot(). Commentez.

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# A COMPLETER
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Question : Poursuivez l’exploitation des résultats -en regardant d’autres plans factoriels, en exploitant l’information des -variables qualitatives pluie et vent.

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# A COMPLETER
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