\psection{Introduction}

Blabla

\newpage

\section{Modelisation}

\begin{equation*}
	\dot{x_{1}}, \dot{x_{2}} = f(e_{1},e_{2},q)
\end{equation*}

\begin{equation*}
	\left\{ \begin{aligned} 
		x_{1}(\zeta,t) &= \frac{\partial^{2}\omega}{\partial\varepsilon^{2}}\\
		x_{2}(\zeta,t) &= \rho(\zeta)\frac{\partial\omega}{dt}
	\end{aligned} \right.
\end{equation*}

\begin{equation*}
	\left\{ \begin{aligned} 
		e_{1}(\zeta,t) &= EI(\zeta)x_{1}\\
		e_{2}(\zeta,t) &= \frac{1}{\rho(\zeta)}x_{2} = \frac{\partial\omega}{\partial t}
	\end{aligned} \right.
\end{equation*}


\subsection{Question 1}

\begin{equation*}
	\left\{\begin{aligned}
		\dot{x_{1}} &= \frac{\partial x_{1}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial^2\omega}{\partial \zeta^2}) = \frac{\partial^2}{\partial \zeta^2}(\frac{\partial^2\omega}{\partial t})\\
		\dot{x_{2}} &= \rho(\zeta)\frac{\partial^2\omega}{\partial t} = \underbrace{-\frac{\partial^{2}}{\partial \zeta^2}(EI(\zeta)\frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2})-q(\zeta,t)}_\text{EDP}
	\end{aligned}\right.
\end{equation*}

\begin{equation}
	\Rightarrow\boxed{\left\{\begin{aligned}
		\dot{x_{1}} &= \frac{\partial^2 e_2}{\partial\zeta^2} \\
		\dot{x_{2}} &= -\frac{\partial^2 e_1}{\partial\zeta^2}-q(\zeta,t)
	\end{aligned}\right. }
\end{equation}


\subsection{Question 2}

\begin{align*}
		\left\{\begin{aligned}
			x_1 &\approx \phi^Tx_{1d}(t) \\
			x_2 &\approx \phi^Tx_{2d}(t)
		\end{aligned}\right. & &
		\left\{\begin{aligned}
			e_1 &\approx \phi^Te_{1d}(t) \\
			e_2 &\approx \phi^Te_{2d}(t)
		\end{aligned}\right.
\end{align*}

En utilisant la première ligne de l'équation 1, on trouve :

\begin{equation*}
	\int\phi(\zeta)d\zeta\times\phi^T\dot{x_{1d}} = \int\phi(\zeta)d\zeta\times\frac{\partial^2}{\partial\zeta^2} = \ddot{\phi}(\zeta)^Te_{2*d}
\end{equation*}

\begin{equation}
	\underbrace{\int_{0}^{L}\phi(\zeta)\phi(\zeta)^Td\zeta}_\text{E}\times\dot{x_{1d}} = \left(\int_{0}^{L}\phi(\zeta)\ddot{\phi}(\zeta)d\zeta\right)e_{2d}
\end{equation}

Intégration par partie (IPP) :

\begin{equation*}
	\int_{0}^{L}u\cdot \dot{v} d\zeta = [u\cdot v]_{0}^{L} - \int_{0}^{L}\dot{u}\cdot v d\zeta
\end{equation*}

Dans notre cas :

\begin{align*}
	\left\{\begin{aligned}
		u&=\phi(\zeta) \\
		\dot{v} &= \ddot{\phi}(\zeta)^T
	\end{aligned}\right. &
	\Rightarrow\left\{\begin{aligned}
		\dot{u} &= \dot{\phi}(\zeta) \\
		v &= \dot{\phi}(\zeta)^T
	\end{aligned}\right.
\end{align*}

On applique plusieurs fois :

\begin{equation*}
	\begin{aligned} 
		\int_{0}^{L}\phi(\zeta)\ddot{\phi}(\zeta)^T d\zeta &= [\phi(\zeta)\dot{\phi}(\zeta)^T]_{0}^{L} - \int_{0}^{L}\dot{\phi}(\zeta)\dot{\phi}(\zeta)^T d\zeta \\
		&= \phi(L)\dot{\phi}(L)^T - \underbrace{\phi(0)\dot{\phi}(0)^T }_\text{=0} - \int_{0}^{L}\dot{\phi}(\zeta)\dot{\phi}(\zeta)^T d\zeta \\
		&= \phi(L)\dot{\phi}(L)^T - \dot{\phi}(L)\phi(L)^T + \underbrace{\dot{\phi(0)}\phi(0)^T }_\text{=0} + \int_{0}^{L} \ddot{\phi}(\zeta)\phi(\zeta)^T d\zeta \\
		&= \phi(L)\dot{\phi}(L)^T - \dot{\phi}(L)\phi(L)^T + \int_{0}^{L} \ddot{\phi}(\zeta)\phi(\zeta)^T d\zeta = D
	\end{aligned}
\end{equation*}

On continue avec ça en remplaçant dans l'équation 2 :

\begin{equation*}
	\Rightarrow \boxed{E\dot{x}_{1d} = De_{2d}}
\end{equation*}

Puis on a dans la deuxième ligne de l'équation 1 : 

\begin{equation*}
	\begin{aligned}
			\phi^T(\zeta)\dot{x}_{2d} &= - \frac{\partial^2}{\partial\zeta^2} (\phi(\zeta)^T e_{1d}) - q(\zeta, t) \\
			\int_{0}^{L} \phi^T(\zeta)d\zeta\times\dot{x}_{2d} &= -e_{1d}\int_{0}^{L}\phi(\zeta)\ddot{\phi}(\zeta)^T d\zeta - \underbrace{\int_{0}^{L}\phi(\zeta)q(\zeta,t)d\zeta}_{=F_{ext}}
	\end{aligned}
\end{equation*}

Puis on trouve D :

\begin{equation*}
	\begin{aligned}
		D &= \phi(L)\dot{\phi}(L)^T - \phi(L)\dot{\phi}(L)^T + \int_{0}^{L}\ddot{\phi}(\zeta)\phi(\zeta)^Td\zeta \\
		\Rightarrow D^T &= \dot{\phi}(L)\phi(L)^T - \dot{\phi}(L)\phi(L)^T + \int_{0}^{L}\phi(\zeta)\ddot{\phi}(\zeta)d\zeta \\
		\Rightarrow \boxed{\int_{0}^{L}\underbrace{\phi(\zeta)}\ddot{\phi}(\zeta)^Td\zeta} &= D^T - \dot{\phi}(L)\phi(L)^T + \phi(L)\dot{\phi}(L)^T
	\end{aligned}
\end{equation*}

Donc :

\begin{equation*}
	E\dot{x}_{2d} = -e_{1d}D^T + \overbrace{e_{1d}\dot{\phi}(L)\phi(L)^T}^{=0} - e_{1d}\phi(L)\dot{\phi}(L)^T - F_{ext}
\end{equation*}

Or on sait que : 

\begin{equation}
	\Rightarrow\left\{\begin{aligned}
			\frac{de_1}{d\zeta} = u(t) &\Rightarrow \dot{\phi}(L)^T e_{1d} = u(t) \\
			e_1 (L,t) = 0 &\Rightarrow \phi(L)^T e_{1d} = 0
	\end{aligned}\right.
\end{equation}

Donc :

\begin{equation*}
	\boxed{E\dot{x}_{2d} = - e_{1d}D^T - \phi(L)u(t) - F_{ext}}
\end{equation*}

Puis on a :

\begin{equation*}
	\left\{\begin{aligned}
		y(t) &= -e_2 (L,t) \\
		e_2 (L,t) &\approx	\phi(L)^T e_{2d} 
	\end{aligned}\right.
\end{equation*}

Ce qui nous donne l'approximation :

\begin{equation*}
	\boxed{y(t) = -\phi(L)^T e_{2d}}
\end{equation*}

\subsection{Question 3}
On a :

\begin{equation*}
	\left\{\begin{aligned}
		e_1 = EIx_1 = x_1 &\Rightarrow e_{1d} = x_{1d} \\
		e_2 = \frac{1}{\rho(\zeta)}x_2 = x_2 &\Rightarrow e_{2d} = x_{2d}
	\end{aligned}\right.
\end{equation*}

Donc :

\begin{equation*}
	\left\{\begin{aligned}
		E\dot{X}_{1d} &= Dx_{2d} \\
		E\dot{X}_{2d} &= -D^T x_{1d} - \phi(L)u(t) - 0 \\
		y &= -\phi(L)^T x_{2d}
	\end{aligned}\right.
\end{equation*}

Ce qui nous donne :

\begin{equation*}
	A = \begin{pmatrix}
		0 & E^{-1}D \\
		-E^{-1}D^T & 0
	\end{pmatrix}, \  B = \begin{pmatrix}
		0 \\
		-E^{-1}\phi(L)
	\end{pmatrix}, \ C = \begin{pmatrix}
		0 & -\phi(L)^T
	\end{pmatrix}
\end{equation*}

Pour :

\begin{equation*}
	\left\{\begin{aligned}
		\zeta = L = 1 \\
		\phi(1) = \begin{pmatrix}
			0 \\
			1 \\
			0 \\
			0
		\end{pmatrix}
	\end{aligned}\right. \Rightarrow d\acute{e}cla \ A, \ B, \ C \ en \ MATLAB
\end{equation*}

\begin{equation*}
	A = \begin{pmatrix}
		0 & 0 & 0 & 0 & 114 & 6 & 12 & -2 \\
		0 & 0 & 0 & 0 & -54 & 6 & -2 & 4 \\
		0 & 0 & 0 & 0 & -1188 & -12 & -114 & 6 \\
		0 & 0 & 0 & 0 & -828 & -12 & -54 & 0 \\
		6 & 54 & 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
		-6 & -114 & -2 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
		-12 & -828 & -6 & 54 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
		-12 & -1188 & -6 & 114 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
	\end{pmatrix}, \  B = \begin{pmatrix}
		0 \\
		0 \\
		0 \\
		0 \\
		4 \\
		-16 \\
		-60 \\
		-120 \\
	\end{pmatrix}, \ C = \begin{pmatrix}
		0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0
	\end{pmatrix}
\end{equation*}


\subsection{Question 4}
\begin{equation*}
	\omega(p, t) = C_\omega(p)x_d(t)
\end{equation*}
	
\begin{equation*}
	C_\omega(p) = \begin{bmatrix}
		\frac{p^2(2p^3-5p^2+10)}{20} & -\frac{p^4(2p-5)}{20} & \frac{p^3(3p^2-10p+10)}{60} & \frac{p^4(3p-5)}{60} & 0 & 0 & 0 & 0
	\end{bmatrix}
\end{equation*}

\begin{equation*}
	\phi(L)^T = \begin{bmatrix}
		2p^3 - 3p^2 + 1 & 3p^2 - 2p^3 & p^3 - 2p^2 + p & p^3 - p^2
	\end{bmatrix}
\end{equation*}
\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question4}

\subsection{Question 5}
\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question5}\begin{align*}
	y  = -\phi(L)^Te_{2d} && y = -e_2(L, t) & & e_2(\zeta, t) \approx \phi(\zeta)^Te_{2d}(t)
\end{align*}

\begin{align*}
	x_1 = \frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t)\approx\phi(\zeta)^2x_{1d} & & x_2(\zeta,t) = \rho(\zeta)\frac{\partial\omega}{\partial t}(\zeta,t) \approx\phi(\zeta)^Tx_{2d}
\end{align*}

\begin{align*}
	\begin{bmatrix}
		\dot{x}_{1d} \\ \dot{x}_{1d}
	\end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}
	x_{1d} \\ x_{2d}
	\end{bmatrix} + Bu & & y = C \begin{bmatrix}
	x_{1d} \\ x_{2d}
	\end{bmatrix}
\end{align*}


\subsection{Question 6}
\begin{equation*}
	\begin{bmatrix}
		x_1 \\ x_2
	\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
		\frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t) \\
		\rho(\zeta)\frac{\partial\omega}{\partial t}(\zeta,t)
	\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
		\phi(\zeta)^T & 0000 \\
		0000 & \phi(\zeta)^T
	\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
		x_{1d} \\ x_{2d}
	\end{bmatrix}
\end{equation*}

\begin{equation*}
	\frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t) = \underbrace{\begin{bmatrix}
		\phi(\zeta)^T & 0 & 0 & 0 & 0 
	\end{bmatrix}}_{C.I.=0+0}x_{d}(t)
\end{equation*}

\begin{equation*}
	\begin{aligned}
		\frac{\partial\omega}{\partial\zeta}(\zeta,t) &= \int\frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t)d\zeta = x_d(t)\int\begin{bmatrix}
			\phi(\zeta)^T & 0 & 0 & 0 & 0 
		\end{bmatrix}d\zeta + C_1(t) \\
		\omega(\zeta,t) &= \int\int\frac{\partial^2\omega}{\partial^2\zeta^2}(\zeta,t)d\zeta^2 = x_d(t)\int\int\begin{bmatrix}
			\phi(\zeta)^T & 0 & 0 & 0 & 0 
		\end{bmatrix}d\zeta^2 + \underbrace{\int C_1(t)d\zeta + C_2(t)}_{\zeta C_1(t) + C_2(t)}
	\end{aligned}
\end{equation*}

$C_1$ et $C_2$ ?????????????????

\section{Retour de sortie}

\subsection{Question 7}
La sortie est donnée par $y(t) = C\,x_d(t)$, donc le système en boucle fermée s’écrit :

\begin{equation*}
\begin{cases}
	\dot{x}_d(t) = (A - B C k)\,x_d(t) + B H\,w_c(L,t) \\
	w(L,t) = C_w(L)\,x_d(t)
\end{cases}
\end{equation*}

En régime permanent, $\dot{x}_d(t)=0$, donc :
\begin{equation*}
	0 = (A - B C k)\,x_d + B H\,C_w(L)\,x_d
	\quad \Rightarrow \quad
	x_d = -(A - B C k)^{-1} B H w_c(L,t)
\end{equation*}

En multipliant l’expression par $C_w(L)$, on trouve :
\begin{equation*}
	w(L,t) = C_w(L)\,x_d = -C_w(L)(A - B C k)^{-1} B H w_c(L,t)
\end{equation*}

Pour assurer le suivi $w(L,t) = w_c(L,t)$, il faut :
\begin{equation*}
	- C_w(L)(A - B C k)^{-1} B H = I
\end{equation*}

D’où : 
\begin{equation*}
	\boxed{H = -\left(C_w(L)(A - B C k)^{-1} B\right)^{-1}}
\end{equation*}

Finalement, après calcul sous MATLAB, on obtient $H = -3$.


\subsection{Question 8}
\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question8}


\subsection{Question 9}


\subsection{Question 10}



\section{Retour d'état}

\subsection{Question 11}
En utilisant la fonction \texttt{lqr()} de MATLAB avec $Q = I_8$ et $R = 1$, on trouve la matrice de gain $K$ suivante :
\begin{equation*}
	K = \begin{pmatrix}
		0.97 & -14.62 & 0.66 & 1.32 & 19.32 & 0.39 & 2.40 & -2.11
	\end{pmatrix}
\end{equation*}

\subsection{Question 12}
\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question12}


\subsection{Question 13}


\subsection{Question 14}



\section{Rejection de perturbation}

\subsection{Question 15}
On sait que :
\begin{equation*}
	F_{ext} = \int_{0}^{L}\phi(\zeta)q(\zeta,t)d\zeta
	\quad \Rightarrow \quad 
	F_{ext} = q_0(t) \cdot \int_{0}^{L}\phi(\zeta)d\zeta \text{ car } q(\zeta,t) = q_0(t)
\end{equation*}
Or on a :
\begin{equation*}
	E\dot{x}_{2d} = - e_{1d}D^T - \phi(L)u(t) - F_{ext}
\end{equation*}
Donc, puisque $\dot{x}_{d}(t) = A x_d(t) + B u(t) + B_p q_0(t)$, on trouve :
\begin{equation*}
	B_p = \begin{pmatrix}
		0_{4 \times 1} \\
		-\int_{0}^{L}\phi(\zeta)d\zeta
	\end{pmatrix}

	= \begin{pmatrix}
		0_{4 \times 1} \\
		1/2 \\
		1/2 \\
		1/12 \\
		-1/12
	\end{pmatrix}
\end{equation*}

\subsection{Question 16}
\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question16}
Notre système ne permet pas de garantir une erreur nulle en régime permanent face
à une perturbation constante.

\subsection{Question 17}
Nous souhaitons garder les mêmes valeurs propres que celles obtenues lors de la question 11
avec la LQR. La valeur propre supplémentaire doit être plus à droite pour permettre
de rejeter la perturbation. On chosit $\lambda_9 = -2$.
On trouve alors : 
\begin{equation*}
	\lambda = \begin{pmatrix}
		-84.66 & -7.56 \pm 68.77i & -27.97 \pm 17.24i & -15.91 & -4.38 \pm 2.66i & -2
	\end{pmatrix}^T
\end{equation*}

\subsection{Question 18}
En utilisant la fonction \texttt{place()} de MATLAB, on trouve la matrice de gain $K$ suivante :
\begin{equation*}
	K_{aug} = \begin{pmatrix}
		K_1 & K_i
	\end{pmatrix} \text{ avec } K_1 \in \mathbb{R}^{1 \times 8} \text{ et } K_i \in \mathbb{R}

	
	K_{aug} = \begin{pmatrix}
		-0.89 & -16.59 & 0.28 & 1.68 & 19.39 & -0.84 & 2.36 & -1.94 & 12.00
	\end{pmatrix}
\end{equation*}


\subsection{Question 19}
\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question19}
En utilisant l'action intégrale, on parvient à rejeter la perturbation constante 
et à garantir une erreur nulle en régime permanent.

\subsection{Question 20}



\newpage

% VIEUX PROJET À RETIRER MAIS ON LE GARDE TEMPORAIREMENT POUR COPIER-COLLER
\section{VIEUX PROJET À RETIRER MAIS ON LE GARDE TEMPORAIREMENT POUR COPIER-COLLER}

\vspace{0.25cm}
Le bille sur rail est une manipulation où le but est de stabiliser une bille sur un rail. Le rail est commandé par une tension, et les données lues sont l'angle du rail et la position de la bille. La position est achevé à l'aide d'un lecture d'impedance.
\vspace{0.5cm}
\\ \textbf{Le schèma de forces de la bille sur rail:}

\includegraphics{./Illustrations/Schema_Forces.png}

\newpage 

\subsection{Analyse du schèma bloc et setup}
Nous avons remarqué que l'identification du système se fait en bouclé fermé. Voici le schèma bloc désignant le système que nous pouvons manipuler: \{Sett inn bilde av schèma bloc, système rail\}

\subsection{Mise en oeuvre de N4SID}
On a utilisé la fonction n4sid() du GIT de Mr. Poussot. Nous avons fait une experiènce temporel, frequentiel et avec Loewner. 
Voici le comportement des differents modèles obtenu: \{Sett inn bilde av n4sid\}

Cela nous avait mené à résumer le systeme du rail à la fonction de transfert suivante :
$$G(p) = \frac{NUM}{DEN}$$

\subsection{Fonction transfert du système: Rail}
Après avoir trouvé un modèle qui nous va, nous avons ensuite retrouvé la vraie fonction transferte du rail. Avec la relation qui suit: 
\\


%%Lånt av disse her, smarte folk!
% Source - https://tex.stackexchange.com/q/175969
% Posted by student1, modified by community. See post 'Timeline' for change history
% Retrieved 2026-04-02, License - CC BY-SA 3.0


% Source - https://tex.stackexchange.com/a/175970
% Posted by Peter Grill, modified by community. See post 'Timeline' for change history
% Retrieved 2026-04-02, License - CC BY-SA 3.0



\tikzstyle{block} = [draw, fill=white, rectangle, 
    minimum height=3em, minimum width=6em]
\tikzstyle{sum} = [draw, fill=white, circle, node distance=1cm]
\tikzstyle{input} = [coordinate]
\tikzstyle{output} = [coordinate]
\tikzstyle{pinstyle} = [pin edge={to-,thin,black}]

\begin{tikzpicture}[auto, node distance=2cm,>=latex]

    \node [input, name=input] {};
    \node [sum, right of=input] (sum) {};
    %%\node [block, right of=sum] (controller) {};
    \node [block, right of=sum,
            node distance=3cm] (system) {$G_{Rail}(s)$};

    \draw [->] (sum) -- node[name=u] {$u$} (system);
    \node [output, right of=system] (output) {};
    %\node [block, below of=u] (measurements) {Measurements};
    \coordinate [below of=u] (measurements) {};

    \draw [draw,->] (input) -- node {$r$} (sum);
    %\draw [->] (sum) -- node {$e$} (system);
    \draw [->] (system) -- node [name=y] {$y$}(output);
    %\draw [->] (y) |- (measurements);
    \draw [-] (y) |- (measurements);
    %\draw [->] (measurements) -| node[pos=0.99] {$-$} 
    \draw [->] (measurements) -| %node[pos=1.00] {$-$} 
        node [near end] {$y_m$} (sum);

\coordinate [below=1.7cm of sum] (u1) {};
\coordinate [below=1.88cm of y] (u2) {};
\draw[
decorate,
decoration={brace, mirror, amplitude=8pt}
]
(u1.south west) -- (u2.south east)
node[midway, below=10pt] {$H(s)$};
        
        
    %\draw [->] 
\end{tikzpicture}
\bigskip

\begin{equation}
    H(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}\Rightarrow G(s)=\frac{H(s)}{1+H(s)}
\end{equation}


    
\subsection{Calcul du correcteur du système: P}
On a testé plusieurs valeurs, et conclue que juste un correcteur proportionnel du gain 1 fonctionne très bien.
\\


\begin{tikzpicture}[auto, node distance=2cm,>=latex]

    \node [input, name=input] {};
    \node [sum, right of=input] (sum) {};
    \node [block, right of=sum] (controller) {Controleur: P};
    \node [block, right of=controller,
            node distance=3cm] (system) {$G_{Rail}(s)$};

    \draw [->] (controller) -- node[name=u] {$u$} (system);
    \node [output, right of=system] (output) {};
    %\node [block, below of=u] (measurements) {Measurements};
    \coordinate [below of=u] (measurements) {};

    \draw [draw,->] (input) -- node {$r$} (sum);
    \draw [->] (sum) -- node {$e$} (controller);
    \draw [->] (system) -- node [name=y] {$y$}(output);
    %\draw [->] (y) |- (measurements);
    \draw [-] (y) |- (measurements);
    %\draw [->] (measurements) -| node[pos=0.99] {$-$} 
    \draw [->] (measurements) -| %node[pos=1.00] {$-$} 
        node [near end] {$y_m$} (sum);

\coordinate [below=1.7cm of sum] (u1) {};
\coordinate [below=1.88cm of y] (u2) {};
\draw[
decorate,
decoration={brace, mirror, amplitude=8pt}
]
(u1.south west) -- (u2.south east)
node[midway, below=10pt] {$H_C(s)$};
        
        
    %\draw [->] 
\end{tikzpicture}

\subsection{Theorie de la loi de commande}
Faut mettre des choses ici. Je push!

\subsection{Une sous section}
\subsubsection{Une sous sous section}
Un mot compliqué\footnote{Une note de bas de page}


\newpage

\psection{Conclusion}

Une conclusion
