Avancement

BE_Beam.m

@@ -173,20 +173,20 @@ plot(eig_zoh3,'x');
 hold off;
 
 %%
-sys_CL_Ts = c2d(sys_CL, 10, 'zoh');
+sys_CL_Ts = c2d(sys_CL, 1, 'zoh');
 figure
 step(sys_CL_Ts)
 
 %% Question 11
 
-K = lqr(sys, eye(size(A)), 1);
+K_lqr = lqr(sys, eye(size(A)), 1);
-H_lqr = inv(Cw_L*inv(-A+B*K)*B) ;
+H_lqr = inv(Cw_L*inv(-A+B*K_lqr)*B) ;
 
 %% Question 12
 
-sys_CL_lqr = ss(A-B*K, B*H_lqr, C, 0);
+sys_CL_lqr = ss(A-B*K_lqr, B*H_lqr, C, 0);
 [y, t, x] = lsim(sys_CL_lqr, cmd, t);
-u = H_lqr*cmd'-(K*x')' ;
+u = H_lqr*cmd'-(K_lqr*x')' ;
 Question12 = figure ;
 plot(t, u, t, y, t, cmd, t, (Cw_L*x')');
 xlabel("Temps (s)");
@@ -201,12 +201,12 @@ end
 %% Question 15
 Bp = [0; 0; 0; 0; 1/2*L^4-L^3+L; L^3-1/2*L^4; 1/4*L^4-2/3*L^3+1/2*L^2; 1/4*L^4-1/3*L^3];
 
-q = -5 * double (t' >= 4);
+q0 = -5 * double (t' >= 4);
-sys_perturbations = ss(A-B*K, [B*H_lqr Bp], C, [0 0]);
+sys_perturbations = ss(A-B*K_lqr, [B*H_lqr Bp], C, [0 0]);
 
 %%Question 16
-[y, t, x] = lsim(sys_perturbations, [cmd ; q], t');
+[y, t, x] = lsim(sys_perturbations, [cmd ; q0], t');
-u = H_lqr*cmd'-(K*x')' ;
+u = H_lqr*cmd'-(K_lqr*x')' ;
 Question16 = figure ;
 plot(t, u, t, y, t, cmd, t, (Cw_L*x')');
 xlabel("Temps (s)");
@@ -241,3 +241,17 @@ title("Simulation du retour d'états avec action intégrale et perturbations") ;
 if SAVE
     exportgraphics(Question19, './latex/Illustrations/Question19.pdf')
 end
+
+%%
+sys_integral_d = c2d(sys_integral, 0.5, 'zoh');
+t_d = 0:0.5:10; % Define the time vector for discrete simulation
+cmd_d = double (t_d >= 1) ;
+q0_d = -5 * double(t_d >= 4);
+[y_d, t_d, x_d] = lsim(sys_integral_d, [cmd_d ; q0_d], t_d);
+u_d = -(K_aug*x_d')' ;
+Question20 = figure ;
+plot(t_d, u_d, t_d, y_d, t_d, cmd_d, t_d, ([Cw_L 0]*x_d')');
+xlabel("Temps (s)");
+ylabel("Amplitude");
+legend("$u(t)$", "$y(t)$", "$w_c(L,t)$", "$w(L,t)$", 'Interpreter', 'latex');
+title("Simulation du retour d'états avec action intégrale et perturbations") ;

latex/contents.tex

@@ -25,7 +25,7 @@ Blabla
 \end{equation*}
 
 
-\subsection{Exercice 1}
+\subsection{Question 1}
 
 \begin{equation*}
 	\left\{\begin{aligned}
@@ -42,7 +42,7 @@ Blabla
 \end{equation}
 
 
-\subsection{Exercice 2}
+\subsection{Question 2}
 
 \begin{align*}
 		\left\{\begin{aligned}
@@ -156,7 +156,7 @@ Ce qui nous donne l'approximation :
 	\boxed{y(t) = -\phi(L)^T e_{2d}}
 \end{equation*}
 
-\subsection{Exercice 3}
+\subsection{Question 3}
 On a :
 
 \begin{equation*}
@@ -229,7 +229,7 @@ Pour :
 \end{equation*}
 
 
-\subsection{Exercice 4}
+\subsection{Question 4}
 \begin{equation*}
 	\omega(p, t) = C_\omega(p)x_d(t)
 \end{equation*}
@@ -247,7 +247,7 @@ Pour :
 \end{equation*}
 \includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question4}
 
-\subsection{Exercice 5}
+\subsection{Question 5}
 \includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question5}\begin{align*}
 	y  = -\phi(L)^Te_{2d} && y = -e_2(L, t) & & e_2(\zeta, t) \approx \phi(\zeta)^Te_{2d}(t)
 \end{align*}
@@ -267,7 +267,7 @@ Pour :
 \end{align*}
 
 
-\subsection{Exercice 6}
+\subsection{Question 6}
 \begin{equation*}
 	\begin{bmatrix}
 		x_1 \\ x_2
@@ -303,56 +303,138 @@ $C_1$ et $C_2$ ?????????????????
 
 \section{Retour de sortie}
 
-\subsection{Exercice 7}
+\subsection{Question 7}
+La sortie est donnée par $y(t) = C\,x_d(t)$, donc le système en boucle fermée s’écrit :
+
+\begin{equation*}
+\begin{cases}
+	\dot{x}_d(t) = (A - B C k)\,x_d(t) + B H\,w_c(L,t) \\
+	w(L,t) = C_w(L)\,x_d(t)
+\end{cases}
+\end{equation*}
+
+En régime permanent, $\dot{x}_d(t)=0$, donc :
+\begin{equation*}
+	0 = (A - B C k)\,x_d + B H\,C_w(L)\,x_d
+	\quad \Rightarrow \quad
+	x_d = -(A - B C k)^{-1} B H w_c(L,t)
+\end{equation*}
+
+En multipliant l’expression par $C_w(L)$, on trouve :
+\begin{equation*}
+	w(L,t) = C_w(L)\,x_d = -C_w(L)(A - B C k)^{-1} B H w_c(L,t)
+\end{equation*}
+
+Pour assurer le suivi $w(L,t) = w_c(L,t)$, il faut :
+\begin{equation*}
+	- C_w(L)(A - B C k)^{-1} B H = I
+\end{equation*}
+
+D’où : 
+\begin{equation*}
+	\boxed{H = -\left(C_w(L)(A - B C k)^{-1} B\right)^{-1}}
+\end{equation*}
+
+Finalement, après calcul sous MATLAB, on obtient $H = -3$.
 
 
-\subsection{Exercice 8}
+\subsection{Question 8}
 \includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question8}
 
 
-\subsection{Exercice 9}
+\subsection{Question 9}
 
 
-\subsection{Exercice 10}
+\subsection{Question 10}
 
 
 
 \section{Retour d'état}
 
-\subsection{Exercice 11}
+\subsection{Question 11}
+En utilisant la fonction \texttt{lqr()} de MATLAB avec $Q = I_8$ et $R = 1$, on trouve la matrice de gain $K$ suivante :
+\begin{equation*}
+	K = \begin{pmatrix}
+		0.97 & -14.62 & 0.66 & 1.32 & 19.32 & 0.39 & 2.40 & -2.11
+	\end{pmatrix}
+\end{equation*}
+
+\subsection{Question 12}
+\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question12}
 
 
-\subsection{Exercice 12}
+\subsection{Question 13}
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question12}\begin{align*}
 
 
-\subsection{Exercice 13}
+\subsection{Question 14}
-
-
-\subsection{Exercice 14}
 
 
 
 \section{Rejection de perturbation}
 
-\subsection{Exercice 15}
+\subsection{Question 15}
+On sait que :
+\begin{equation*}
+	F_{ext} = \int_{0}^{L}\phi(\zeta)q(\zeta,t)d\zeta
+	\quad \Rightarrow \quad 
+	F_{ext} = q_0(t) \cdot \int_{0}^{L}\phi(\zeta)d\zeta \text{ car } q(\zeta,t) = q_0(t)
+\end{equation*}
+Or on a :
+\begin{equation*}
+	E\dot{x}_{2d} = - e_{1d}D^T - \phi(L)u(t) - F_{ext}
+\end{equation*}
+Donc, puisque $\dot{x}_{d}(t) = A x_d(t) + B u(t) + B_p q_0(t)$, on trouve :
+\begin{equation*}
+	B_p = \begin{pmatrix}
+		0_{4 \times 1} \\
+		-\int_{0}^{L}\phi(\zeta)d\zeta
+	\end{pmatrix}
+
+	= \begin{pmatrix}
+		0_{4 \times 1} \\
+		1/2 \\
+		1/2 \\
+		1/12 \\
+		-1/12
+	\end{pmatrix}
+\end{equation*}
+
+\subsection{Question 16}
+\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question16}
+Notre système ne permet pas de garantir une erreur nulle en régime permanent face
+à une perturbation constante.
+
+\subsection{Question 17}
+Nous souhaitons garder les mêmes valeurs propres que celles obtenues lors de la question 11
+avec la LQR. La valeur propre supplémentaire doit être plus à droite pour permettre
+de rejeter la perturbation. On chosit $\lambda_9 = -2$.
+On trouve alors : 
+\begin{equation*}
+	\lambda = \begin{pmatrix}
+		-84.66 & -7.56 \pm 68.77i & -27.97 \pm 17.24i & -15.91 & -4.38 \pm 2.66i & -2
+	\end{pmatrix}^T
+\end{equation*}
+
+\subsection{Question 18}
+En utilisant la fonction \texttt{place()} de MATLAB, on trouve la matrice de gain $K$ suivante :
+\begin{equation*}
+	K_{aug} = \begin{pmatrix}
+		K_1 & K_i
+	\end{pmatrix} \text{ avec } K_1 \in \mathbb{R}^{1 \times 8} \text{ et } K_i \in \mathbb{R}
 
 	
-\subsection{Exercice 16}
+	K_{aug} = \begin{pmatrix}
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question16}\begin{align*}
+		-0.89 & -16.59 & 0.28 & 1.68 & 19.39 & -0.84 & 2.36 & -1.94 & 12.00
+	\end{pmatrix}
+\end{equation*}
 
 
-\subsection{Exercice 17}
+\subsection{Question 19}
+\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question19}
+En utilisant l'action intégrale, on parvient à rejeter la perturbation constante 
+et à garantir une erreur nulle en régime permanent.
 
-
+\subsection{Question 20}
-\subsection{Exercice 18}
-
-
-\subsection{Exercice 19}
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question19}\begin{align*}
-
-
-\subsection{Exercice 20}