conflit de merge résolu

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@@ -1,5 +1,5 @@
 \section{Modelisation}
-
+\vspace*{-2em}
 \begin{align*}
 	\dot{x_{1}}, \dot{x_{2}} = f(e_{1},e_{2},q) & &
 	\left\{ \begin{aligned} 
@@ -14,7 +14,7 @@
 
 
 \subsection{Question 1}
-
+\vspace*{-1.5em}
 \begin{align}
 	\left\{\begin{aligned}
 		\dot{x_{1}} &= \frac{\partial x_{1}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial^2\omega}{\partial \zeta^2}) = \frac{\partial^2}{\partial \zeta^2}(\frac{\partial^2\omega}{\partial t})\\
@@ -29,132 +29,11 @@
 
 
 \subsection{Question 2}
-
+Voir annexe.
-\begin{align*}
-		\left\{\begin{aligned}
-			x_1 &\approx \phi^Tx_{1d}(t) \\
-			x_2 &\approx \phi^Tx_{2d}(t)
-		\end{aligned}\right. & &
-		\left\{\begin{aligned}
-			e_1 &\approx \phi^Te_{1d}(t) \\
-			e_2 &\approx \phi^Te_{2d}(t)
-		\end{aligned}\right.
-\end{align*}
-
-En utilisant la première ligne de l'équation 1, on trouve :
-
-\begin{equation*}
-	\int\phi(\zeta)d\zeta\times\phi^T\dot{x_{1d}} = \int\phi(\zeta)d\zeta\times\frac{\partial^2}{\partial\zeta^2} = \ddot{\phi}(\zeta)^Te_{2d}
-\end{equation*}
-
-\begin{equation}
-	\underbrace{\int_{0}^{L}\phi(\zeta)\phi(\zeta)^Td\zeta}_\text{E}\times\dot{x_{1d}} = \left(\int_{0}^{L}\phi(\zeta)\ddot{\phi}(\zeta)d\zeta\right)e_{2d}
-\end{equation}
-
-On applique plusieurs fois de l’intégration par partie (IPP) :
-
-\begin{equation*}
-	\begin{aligned} 
-		\int_{0}^{L}\phi(\zeta)\ddot{\phi}(\zeta)^T d\zeta &= [\phi(\zeta)\dot{\phi}(\zeta)^T]_{0}^{L} - \int_{0}^{L}\dot{\phi}(\zeta)\dot{\phi}(\zeta)^T d\zeta \\
-		&= \phi(L)\dot{\phi}(L)^T - \underbrace{\phi(0)\dot{\phi}(0)^T }_\text{=0} - \dot{\phi}(L)\phi(L)^T + \underbrace{\dot{\phi(0)}\phi(0)^T }_\text{=0} + \int_{0}^{L} \ddot{\phi}(\zeta)\phi(\zeta)^T d\zeta \\
-		&= \phi(L)\dot{\phi}(L)^T - \dot{\phi}(L)\phi(L)^T + \int_{0}^{L} \ddot{\phi}(\zeta)\phi(\zeta)^T d\zeta = D
-	\end{aligned}
-\end{equation*}
-
-On continue avec ça en remplaçant dans l'équation 2 : $\Rightarrow \boxed{E\dot{x}_{1d} = De_{2d}}$ \\
-
-
-Puis on a dans la deuxième ligne de l'équation 1 : 
-
-\begin{equation*}
-	\begin{aligned}
-			\phi^T(\zeta)\dot{x}_{2d} &= - \frac{\partial^2}{\partial\zeta^2} (\phi(\zeta)^T e_{1d}) - q(\zeta, t) \\
-			\int_{0}^{L} \phi^T(\zeta)d\zeta\times\dot{x}_{2d} &= -e_{1d}\int_{0}^{L}\phi(\zeta)\ddot{\phi}(\zeta)^T d\zeta - \underbrace{\int_{0}^{L}\phi(\zeta)q(\zeta,t)d\zeta}_{=F_{ext}}
-	\end{aligned}
-\end{equation*}
-
-Puis on trouve D :
-
-\begin{equation*}
-	\begin{aligned}
-		& D = \phi(L)\dot{\phi}(L)^T - \phi(L)\dot{\phi}(L)^T + \int_{0}^{L}\ddot{\phi}(\zeta)\phi(\zeta)^Td\zeta \\
-		\Rightarrow & D^T = \dot{\phi}(L)\phi(L)^T - \dot{\phi}(L)\phi(L)^T + \int_{0}^{L}\phi(\zeta)\ddot{\phi}(\zeta)d\zeta \\
-		\Rightarrow & \boxed{\int_{0}^{L}\underbrace{\phi(\zeta)}\ddot{\phi}(\zeta)^Td\zeta} = D^T - \dot{\phi}(L)\phi(L)^T + \phi(L)\dot{\phi}(L)^T \\
-		\Rightarrow & E\dot{x}_{2d} = -e_{1d}D^T + \overbrace{e_{1d}\dot{\phi}(L)\phi(L)^T}^{=0} - e_{1d}\phi(L)\dot{\phi}(L)^T - F_{ext}
-	\end{aligned}
-\end{equation*}
-
-Or on sait que : 
-
-\begin{align*}
-	\Rightarrow\left\{\begin{aligned}
-		\frac{de_1}{d\zeta} = u(t) &\Rightarrow \dot{\phi}(L)^T e_{1d} = u(t) \\
-		e_1 (L,t) = 0 &\Rightarrow \phi(L)^T e_{1d} = 0
-	\end{aligned}\right. & &
-	\Rightarrow & &
-	\boxed{E\dot{x}_{2d} = - e_{1d}D^T - \phi(L)u(t) - F_{ext}}
-\end{align*}
-
-Puis on a ceci :
-
-\begin{align*}
-	\left\{\begin{aligned}
-		y(t) &= -e_2 (L,t) \\
-		e_2 (L,t) &\approx	\phi(L)^T e_{2d} 
-	\end{aligned}\right. & &
-	\Rightarrow & &
-	\boxed{y(t) = -\phi(L)^T e_{2d}}
-\end{align*}
 
 
 \subsection{Question 3}
-On a :
+\vspace*{-2em}
-
-\begin{equation*}
-	\left\{\begin{aligned}
-		e_1 = EIx_1 = x_1 &\Rightarrow e_{1d} = x_{1d} \\
-		e_2 = \frac{1}{\rho(\zeta)}x_2 = x_2 &\Rightarrow e_{2d} = x_{2d}
-	\end{aligned}\right.
-\end{equation*}
-
-Donc :
-
-\begin{equation*}
-	\left\{\begin{aligned}
-		E\dot{X}_{1d} &= Dx_{2d} \\
-		E\dot{X}_{2d} &= -D^T x_{1d} - \phi(L)u(t) - 0 \\
-		y &= -\phi(L)^T x_{2d}
-	\end{aligned}\right.
-\end{equation*}
-
-Ce qui nous donne :
-
-\begin{equation*}
-	A = \begin{pmatrix}
-		0 & E^{-1}D \\
-		-E^{-1}D^T & 0
-	\end{pmatrix}, \  B = \begin{pmatrix}
-		0 \\
-		-E^{-1}\phi(L)
-	\end{pmatrix}, \ C = \begin{pmatrix}
-		0 & -\phi(L)^T
-	\end{pmatrix}
-\end{equation*}
-
-Pour :
-
-\begin{equation*}
-	\left\{\begin{aligned}
-		\zeta = L = 1 \\
-		\phi(1) = \begin{pmatrix}
-			0 \\
-			1 \\
-			0 \\
-			0
-		\end{pmatrix}
-	\end{aligned}\right. 
-\end{equation*}
-
 \begin{equation*}
 	A = \begin{pmatrix}
 		0 & 0 & 0 & 0 & 114 & 6 & 12 & -2 \\
@@ -196,12 +75,21 @@ Pour :
 		2p^3 - 3p^2 + 1 & 3p^2 - 2p^3 & p^3 - 2p^2 + p & p^3 - p^2
 	\end{bmatrix}
 \end{equation*}
+
+\begin{figure}[H]
+	\centering
 	\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question4}
-Les valeurs propres du système dans tous les cas (continu, discrétisé avec Tustin et bloqueur d'ordre 0) sont dans les zones de stabilité.
+\end{figure}
-La stabilité du système est vérifiée pour tous les cas.
+
+Les valeurs propres du système dans tous les cas (continu, discrétisé avec Tustin et bloqueur d'ordre 0) sont dans les zones de stabilité. La stabilité du système est vérifiée pour tous les cas.
 
 \subsection{Question 5}
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question5}\begin{align*}
+\begin{figure}[H]
+	\centering
+	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question5}
+\end{figure}
+
+\begin{align*}
 	y  = -\phi(L)^Te_{2d} && y = -e_2(L, t) & & e_2(\zeta, t) \approx \phi(\zeta)^Te_{2d}(t)
 \end{align*}
 
@@ -228,8 +116,8 @@ La stabilité du système est vérifiée pour tous les cas.
 		\frac{\partial^2\omega}{\partial\zeta^2}(\zeta,t) \\
 		\rho(\zeta)\frac{\partial\omega}{\partial t}(\zeta,t)
 	\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-		\phi(\zeta)^T & 0000 \\
+		\phi(\zeta)^T & 0_{1 \times 4} \\
-		0000 & \phi(\zeta)^T
+		0_{1 \times 4} & \phi(\zeta)^T
 	\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 		x_{1d} \\ x_{2d}
 	\end{bmatrix}
@@ -251,8 +139,10 @@ La stabilité du système est vérifiée pour tous les cas.
 		\end{bmatrix}d\zeta^2 + \underbrace{\int C_1(t)d\zeta + C_2(t)}_{\zeta C_1(t) + C_2(t)}
 	\end{aligned}
 \end{equation*}
+Du côté gauche de la poutre soit $\zeta = 0$, la vitesse et la déformation de la poutre sont nulles. Grâce à ces deux données, nous pouvons calculer les constantes représentant les conditions
+initiales qui sont donc aussi nulles. 
+En calculant les intégrales de $\phi(\zeta)$, nous retrouvons les coefficients de $C_w(\zeta)$. Nous avons alors bien $w(\zeta ,t) = C_w(\zeta) x_d (t)$.
 
-$C_1$ et $C_2$ ?????????????????
 	
 \section{Retour de sortie}
 
@@ -292,17 +182,27 @@ Finalement, après calcul sous MATLAB, on obtient $H = -3$.
 
 
 \subsection{Question 8}
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question8}
+\begin{figure}[H]
+	\centering
+	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question8}
+\end{figure}
 
 \subsection{Question 9}
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question9}
+\begin{figure}[H]
+	\centering
+	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question9}
+\end{figure}
 En discrétisant notre système par la période d'échantillonnage $T_{s3} = 0.04 \ [s]$, on obtient une valeur propre
 en dehors du cercle unitaire de stabilité. Cette période d'échantillonnage déstabilise le système.
 
 \subsection{Question 10}
 La période d'échantillonnage maximale permettant de garantir la stabilité asymptotique
 est de $T_s \approx 0.011 \ [s]$.
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question10}
+
+\begin{figure}[H]
+	\centering
+	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question10}
+\end{figure}
 
 
 
@@ -317,20 +217,30 @@ En utilisant la fonction \texttt{lqr()} de MATLAB avec $Q = I_8$ et $R = 1$, on
 \end{equation*}
 
 \subsection{Question 12}
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question12}
+\begin{figure}[H]
+	\centering
+	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question12}
+\end{figure}
 
 
 \subsection{Question 13}
 La même période d'échantillonnage que la section précédente n'est pas appropriée pour cette loi de commande. 
 La période d'échantillonnage maximale permettant de garantir la stabilité asymptotique
 est de $T_s = 0.0107 \ [s]$.
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question13}
+
+\begin{figure}[H]
+	\centering
+	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question13}
+\end{figure}
 
 
 \subsection{Question 14}
 En prenant une période d'échantillonnage $T_s = 0.01 \ [s]$, on se rapproche du comportement désiré de 
 la question 12.
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question14}
+\begin{figure}[H]
+	\centering
+	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question14}
+\end{figure}
 
 
 \section{Rejection de perturbation}
@@ -364,7 +274,10 @@ B_p =
 \end{equation*}
 
 \subsection{Question 16}
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question16}
+\begin{figure}[H]
+	\centering
+	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question16}
+\end{figure}
 Notre système ne permet pas de garantir une erreur nulle en régime permanent face
 à une perturbation constante.
 
@@ -390,27 +303,30 @@ K_{aug} =
 K_1 \in \mathbb{R}^{1 \times 8}, \;
 K_i \in \mathbb{R}
 \end{equation*}
-
+\vspace*{-2em}
-\begin{equation*}
+\begin{align*}
-	K_{1} = \begin{pmatrix}
+	K_1 = \begin{pmatrix}
 		-0.89 & -16.59 & 0.28 & 1.68 & 19.39 & -0.84 & 2.36 & -1.94
-	\end{pmatrix}
+	\end{pmatrix} & &
 	K_i = \begin{pmatrix}
 		12.00
 	\end{pmatrix}
-
+\end{align*}
-\end{equation*}
 
 
 \subsection{Question 19}
-\includegraphics[width=\textwidth]{Illustrations/Question19}
+\begin{figure}[H]
-En utilisant l'action intégrale, on parvient à rejeter la perturbation constante 
+	\centering
-et à garantir une erreur nulle en régime permanent.
+	\includegraphics[width=35em]{Illustrations/Question19}
+\end{figure}
+
+En utilisant l'action intégrale, on parvient à rejeter la perturbation constante et à garantir une erreur nulle en régime permanent.
+
 
 \subsection{Question 20}
 Nous pouvons utiliser les mêmes gains $K_1$ et $K_i$ dans l'implémentation avec un contrôleur 
 numérique en prenant une période d'échantillonnage suffisamment court. La période d'échantillonnage 
-maximale garantissant la stabilité asymptotique est de $T_s = 0.01066 [s]$. 
+maximale garantissant la stabilité asymptotique est de $T_s = 0.01066\ [s]$. 
-En divisant la période d'échantillonnage par 5 soit $T_s \approx 0.002 [s]$, on obtient une réponse du système
+En divisant la période d'échantillonnage par 5 soit $T_s \approx 0.002\ [s]$, on obtient une réponse du système
 répondant à la performance désirée et à la stabilité.