\textbf{Question 15}
\begin{center}
Soit $q(\zeta, t) = q_0(t)$ et $F_{ext}=-\int_0^L\Phi(\zeta)q(\zeta,t)d\zeta$
$\Leftrightarrow F_{ext}=-\int_0^L\Phi(t)q_0(t)$\\
Or $E\dot{x}_{2d}=-D^Tx_{1d}(t)-\Phi(L)u(t)-F_{ext}$ 
$\Leftrightarrow$
$\dot{x}_{2d}=-E^{-1}D^Tx_{1d}(t)-E^{-1}\Phi(L)u(t)+ E^{-1}\int_0^L\Phi(\zeta)d\zeta q_0(t)$\\
D'où $\dot{x}_d(t)=Ax_d(t)+Bu(t)+ \begin{bmatrix}
0_{\rm I\!R_{_{4\times1}}} \\ E^{-1}\int_0^L\Phi(\zeta)d\zeta
\end{bmatrix}q_0(t)$
\end{center}
Après avoir calculé, nous retrouvons la matrice $B_p$ sous la forme:
\begin{equation}
B_p =
\begin{bmatrix}
0 \\ -E^{-1}\int_0^L \Phi(\zeta)d\zeta 
\end{bmatrix} 
= 
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{bmatrix}^{T}
\end{equation}