\textbf{Question 3}

Le système devient avec $\rho = EI = 1$ et $q(\zeta,t)=0$ :

\begin{equation}
\begin{aligned}
E\dot{x}_{1d}(t) &= D x_{2d}(t),\\
E\dot{x}_{2d}(t) &= -D^T x_{1d}(t)-\phi(L)u(t),\\
y(t) &= -\phi(L)^T x_{2d}(t).
\end{aligned}
\end{equation}

En multipliant les deux premières équations par $E^{-1}$, on obtient :

\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{x}_{1d}(t) &= E^{-1}D x_{2d}(t),\\
\dot{x}_{2d}(t) &= -E^{-1}D^T x_{1d}(t)-E^{-1}\phi(L)u(t).
\end{aligned}
\end{equation}

Et, on obtient comme valeurs de $A$, $B$ et $C$ :

\begin{equation}
A =
\begin{bmatrix}
0 & E^{-1}D \\
-E^{-1}D^T & 0
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 114 & 6 & 12 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -54 & -6 & -2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1188 & -12 & -114 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -828 & -12 & -54 & 6 \\
6 & 54 & 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-6 & -114 & -2 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-12 & -828 & -6 & 54 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-12 & -1188 & -6 & 114 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{equation}

\begin{equation}
B=
\begin{bmatrix}
0 \\ -E^{-1}\Phi(L)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 &
0 &
0 &
0 &
4 &
-16 &
-60 &
-120
\end{bmatrix}^{T}
\end{equation}
\begin{equation}
\qquad
C=
\begin{bmatrix}
0 & -\Phi^{T}(L,t)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{equation}
Finalement, 

\begin{equation}
\boxed{
\begin{aligned}
\dot{x}_d(t) &= Ax_d(t)+Bu(t),\\
y(t) &= Cx_d(t).
\end{aligned}
}
\end{equation}